Номер 2, страница 23 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 4. Умножение и деление алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 2, страница 23.

Условие.

2. Как возвести алгебраическую дробь в степень?

Решение 4.

Чтобы возвести алгебраическую дробь в степень, необходимо возвести в эту степень отдельно её числитель и её знаменатель. Результат возведения числителя становится числителем новой дроби, а результат возведения знаменателя — её знаменателем.

В общем виде это правило записывается следующей формулой:

$ (\frac{A}{B})^n = \frac{A^n}{B^n} $

Здесь $A$ и $B$ — это любые алгебраические выражения (числа, одночлены или многочлены), при этом знаменатель $B$ не должен быть равен нулю ($B \neq 0$), а $n$ — показатель степени (целое число).

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1: Возведение дроби с одночленами в положительную степень

Возведем дробь $ \frac{2x^3}{5y^4} $ в третью степень.

Решение:

Применим формулу, возводя в степень и числитель, и знаменатель:

$ (\frac{2x^3}{5y^4})^3 = \frac{(2x^3)^3}{(5y^4)^3} $

Теперь используем свойства степени: чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель, а чтобы возвести степень в степень, нужно перемножить показатели.

Числитель: $ (2x^3)^3 = 2^3 \cdot (x^3)^3 = 8 \cdot x^{3 \cdot 3} = 8x^9 $

Знаменатель: $ (5y^4)^3 = 5^3 \cdot (y^4)^3 = 125 \cdot y^{4 \cdot 3} = 125y^{12} $

Собираем итоговую дробь:

$ \frac{8x^9}{125y^{12}} $

Ответ: $ (\frac{2x^3}{5y^4})^3 = \frac{8x^9}{125y^{12}} $

Пример 2: Возведение дроби с многочленами в степень

Возведем дробь $ \frac{a-b}{a+b} $ во вторую степень (в квадрат).

Решение:

$ (\frac{a-b}{a+b})^2 = \frac{(a-b)^2}{(a+b)^2} $

Используем формулы сокращенного умножения (квадрат разности и квадрат суммы):

Числитель: $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $

Знаменатель: $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $

Ответ: $ (\frac{a-b}{a+b})^2 = \frac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2 + 2ab + b^2} $

Пример 3: Возведение дроби в отрицательную степень

При возведении дроби в отрицательную степень, нужно "перевернуть" дробь (поменять местами числитель и знаменатель) и изменить знак показателя степени на положительный.

Формула: $ (\frac{A}{B})^{-n} = (\frac{B}{A})^n = \frac{B^n}{A^n} $

Возведем дробь $ \frac{4c^2}{d} $ в степень -2.

Решение:

Сначала переворачиваем дробь и меняем знак степени:

$ (\frac{4c^2}{d})^{-2} = (\frac{d}{4c^2})^2 $

Теперь возводим полученную дробь в квадрат как в первом примере:

$ (\frac{d}{4c^2})^2 = \frac{d^2}{(4c^2)^2} = \frac{d^2}{4^2 \cdot (c^2)^2} = \frac{d^2}{16c^4} $

Ответ: $ (\frac{4c^2}{d})^{-2} = \frac{d^2}{16c^4} $

Ответ: Чтобы возвести алгебраическую дробь в степень, нужно возвести в эту степень отдельно числитель и отдельно знаменатель. Результаты записать соответственно в числитель и знаменатель новой дроби. Формула: $ (\frac{A}{B})^n = \frac{A^n}{B^n} $ (при $B \neq 0$).