Номер 1, страница 23 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Вводные упражнения. Параграф 4. Умножение и деление алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1, страница 23.

Условие.

Найти значение выражения:

1) $\frac{2}{9} \cdot \frac{3}{5};$

2) $\frac{24}{25} \cdot \left(-\frac{5}{8}\right);$

3) $\frac{14}{99} : \frac{63}{110};$

4) $8 \cdot \frac{1}{4};$

5) $\frac{5}{7} \cdot 35;$

6) $42 : \frac{6}{7};$

7) $\frac{3}{8} : 24;$

8) $\left(-1\frac{3}{5}\right)^2;$

9) $\left(-1\frac{1}{3}\right)^3;$

10) $\left(\frac{4}{5}\right)^3.$

Решение 4.

1) Чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Затем, если возможно, сократить полученную дробь. $ \frac{2}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 3}{9 \cdot 5} = \frac{6}{45} $. Сократим дробь $ \frac{6}{45} $, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3: $ \frac{6 \div 3}{45 \div 3} = \frac{2}{15} $. Можно было сократить до умножения: $ \frac{2}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{2}{\cancel{9}^3} \cdot \frac{\cancel{3}^1}{5} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 5} = \frac{2}{15} $.
Ответ: $ \frac{2}{15} $.

2) При умножении положительной дроби на отрицательную, результат будет отрицательным. Умножим модули дробей, сокращая общие множители. $ \frac{24}{25} \cdot \left(-\frac{5}{8}\right) = - \left(\frac{24}{25} \cdot \frac{5}{8}\right) $. Сократим 24 и 8 на 8, а 25 и 5 на 5: $ - \left(\frac{\cancel{24}^3}{\cancel{25}^5} \cdot \frac{\cancel{5}^1}{\cancel{8}^1}\right) = - \frac{3 \cdot 1}{5 \cdot 1} = -\frac{3}{5} $.
Ответ: $ -\frac{3}{5} $.

3) Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь. $ \frac{14}{99} : \frac{63}{110} = \frac{14}{99} \cdot \frac{110}{63} $. Сократим числители и знаменатели. 14 и 63 делятся на 7. 99 и 110 делятся на 11. $ \frac{\cancel{14}^2}{\cancel{99}^9} \cdot \frac{\cancel{110}^{10}}{\cancel{63}^9} = \frac{2 \cdot 10}{9 \cdot 9} = \frac{20}{81} $.
Ответ: $ \frac{20}{81} $.

4) Чтобы умножить целое число на дробь, нужно это число умножить на числитель дроби, а знаменатель оставить без изменений. $ 8 \cdot \frac{1}{4} = \frac{8 \cdot 1}{4} = \frac{8}{4} = 2 $.
Ответ: $ 2 $.

5) Умножим числитель дроби на целое число, а знаменатель оставим прежним. $ \frac{5}{7} \cdot 35 = \frac{5 \cdot 35}{7} $. Сократим 35 и 7 на 7: $ \frac{5 \cdot \cancel{35}^5}{\cancel{7}^1} = 5 \cdot 5 = 25 $.
Ответ: $ 25 $.

6) Чтобы разделить целое число на дробь, нужно это число умножить на дробь, обратную делителю. $ 42 : \frac{6}{7} = 42 \cdot \frac{7}{6} = \frac{42 \cdot 7}{6} $. Сократим 42 и 6 на 6: $ \frac{\cancel{42}^7 \cdot 7}{\cancel{6}^1} = 7 \cdot 7 = 49 $.
Ответ: $ 49 $.

7) Чтобы разделить дробь на целое число, нужно знаменатель дроби умножить на это число. $ \frac{3}{8} : 24 = \frac{3}{8 \cdot 24} $. Сократим 3 и 24 на 3: $ \frac{\cancel{3}^1}{8 \cdot \cancel{24}^8} = \frac{1}{8 \cdot 8} = \frac{1}{64} $.
Ответ: $ \frac{1}{64} $.

8) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь. Затем возведем в квадрат. $ -1\frac{3}{5} = -\frac{1 \cdot 5 + 3}{5} = -\frac{8}{5} $. При возведении отрицательного числа в четную степень (2) результат будет положительным. $ \left(-1\frac{3}{5}\right)^2 = \left(-\frac{8}{5}\right)^2 = \frac{8^2}{5^2} = \frac{64}{25} $. Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число: $ \frac{64}{25} = 2\frac{14}{25} $.
Ответ: $ 2\frac{14}{25} $.

9) Преобразуем смешанное число в неправильную дробь. $ -1\frac{1}{3} = -\frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{4}{3} $. При возведении отрицательного числа в нечетную степень (3) результат будет отрицательным. $ \left(-1\frac{1}{3}\right)^3 = \left(-\frac{4}{3}\right)^3 = -\frac{4^3}{3^3} = -\frac{64}{27} $. Преобразуем в смешанное число: $ -\frac{64}{27} = -2\frac{10}{27} $.
Ответ: $ -2\frac{10}{27} $.

10) Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень ее числитель и знаменатель. $ \left(\frac{4}{5}\right)^3 = \frac{4^3}{5^3} = \frac{4 \cdot 4 \cdot 4}{5 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{64}{125} $.
Ответ: $ \frac{64}{125} $.