Номер 52, страница 20 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 52, страница 20.

Условие.

52. Найти значение выражения:

1) $ \frac{8a^2}{a^3-1} + \frac{a+1}{a^2+a+1} $ при $a=2;$

2) $ \frac{3c^2-c+8}{c^3-1} - \frac{c-1}{c^2+c+1} + \frac{2}{1-c} $ при $c=1\frac{1}{2}. $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Сначала упростим данное выражение. Знаменатель первой дроби $a^3 - 1$ является разностью кубов и может быть разложен на множители по формуле $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$.

Применяя эту формулу, получаем: $a^3 - 1 = (a-1)(a^2+a+1)$.

Теперь выражение выглядит так: $\frac{8a^2}{(a-1)(a^2+a+1)} + \frac{a+1}{a^2+a+1}$.

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю, которым является $(a-1)(a^2+a+1)$. Для этого домножим числитель и знаменатель второй дроби на $(a-1)$:

$\frac{a+1}{a^2+a+1} = \frac{(a+1)(a-1)}{(a^2+a+1)(a-1)} = \frac{a^2-1}{a^3-1}$.

Теперь сложим дроби:

$\frac{8a^2}{a^3-1} + \frac{a^2-1}{a^3-1} = \frac{8a^2 + a^2 - 1}{a^3-1} = \frac{9a^2 - 1}{a^3-1}$.

Подставим значение $a=2$ в упрощенное выражение:

$\frac{9(2)^2 - 1}{2^3 - 1} = \frac{9 \cdot 4 - 1}{8 - 1} = \frac{36 - 1}{7} = \frac{35}{7} = 5$.

Ответ: 5

2) Упростим выражение, приведя все дроби к общему знаменателю. Заметим, что $c^3-1 = (c-1)(c^2+c+1)$ и $1-c = -(c-1)$.

Исходное выражение: $\frac{3c^2-c+8}{c^3-1} - \frac{c-1}{c^2+c+1} + \frac{2}{1-c}$.

Перепишем последнюю дробь: $\frac{2}{1-c} = \frac{2}{-(c-1)} = -\frac{2}{c-1}$.

Теперь выражение имеет вид:

$\frac{3c^2-c+8}{(c-1)(c^2+c+1)} - \frac{c-1}{c^2+c+1} - \frac{2}{c-1}$.

Общий знаменатель: $(c-1)(c^2+c+1) = c^3-1$.

Приведем вторую и третью дроби к общему знаменателю:

$\frac{c-1}{c^2+c+1} = \frac{(c-1)(c-1)}{(c-1)(c^2+c+1)} = \frac{c^2-2c+1}{c^3-1}$.

$\frac{2}{c-1} = \frac{2(c^2+c+1)}{(c-1)(c^2+c+1)} = \frac{2c^2+2c+2}{c^3-1}$.

Подставим все в исходное выражение и выполним вычитание:

$\frac{3c^2-c+8}{c^3-1} - \frac{c^2-2c+1}{c^3-1} - \frac{2c^2+2c+2}{c^3-1} = \frac{(3c^2-c+8) - (c^2-2c+1) - (2c^2+2c+2)}{c^3-1}$.

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$3c^2-c+8 - c^2+2c-1 - 2c^2-2c-2 = (3c^2-c^2-2c^2) + (-c+2c-2c) + (8-1-2) = 0 - c + 5 = 5-c$.

Упрощенное выражение: $\frac{5-c}{c^3-1}$.

Теперь подставим значение $c = 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$:

$\frac{5 - \frac{3}{2}}{(\frac{3}{2})^3 - 1} = \frac{\frac{10}{2} - \frac{3}{2}}{\frac{27}{8} - 1} = \frac{\frac{7}{2}}{\frac{27}{8} - \frac{8}{8}} = \frac{\frac{7}{2}}{\frac{19}{8}} = \frac{7}{2} \cdot \frac{8}{19} = \frac{7 \cdot 4}{19} = \frac{28}{19}$.

Ответ: $\frac{28}{19}$