Номер 48, страница 19 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 48, страница 19.

Условие.

48. Найти значение выражения:

1) $\frac{7}{a+b} + \frac{8}{a-b} - \frac{16b}{a^2-b^2}$ при $a=0,05, b=-0,04;$

2) $\frac{3}{a+3} - \frac{2}{3-a} - \frac{12}{a^2-9}$ при $a=-8;$

3) $\frac{6x}{x^2-y^2} - \frac{3}{x-y} - \frac{4}{x+y}$ при $x=\frac{3}{7}, y=-\frac{1}{21};$

4) $\frac{18}{9-4a^2} - \frac{4}{2a+3} + \frac{3}{2a-3}$ при $a=-0,6.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Сначала упростим выражение. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для приведения дробей к общему знаменателю:
$\frac{7}{a+b} + \frac{8}{a-b} - \frac{16b}{a^2-b^2} = \frac{7(a-b)}{(a+b)(a-b)} + \frac{8(a+b)}{(a-b)(a+b)} - \frac{16b}{(a-b)(a+b)} = \frac{7(a-b) + 8(a+b) - 16b}{(a-b)(a+b)}$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{7a - 7b + 8a + 8b - 16b}{a^2 - b^2} = \frac{15a - 15b}{a^2 - b^2} = \frac{15(a-b)}{(a-b)(a+b)}$
Сократим дробь на $(a-b)$, так как при заданных значениях $a-b = 0,05 - (-0,04) = 0,09 \ne 0$:
$\frac{15}{a+b}$
Теперь подставим значения $a=0,05$ и $b=-0,04$:
$\frac{15}{0,05 + (-0,04)} = \frac{15}{0,01} = 1500$
Ответ: $1500$

2) Упростим выражение. Заметим, что $3-a = -(a-3)$ и $a^2-9 = (a-3)(a+3)$.
$\frac{3}{a+3} - \frac{2}{3-a} - \frac{12}{a^2-9} = \frac{3}{a+3} - \frac{2}{-(a-3)} - \frac{12}{(a-3)(a+3)} = \frac{3}{a+3} + \frac{2}{a-3} - \frac{12}{(a-3)(a+3)}$
Приведем дроби к общему знаменателю $(a-3)(a+3)$:
$\frac{3(a-3) + 2(a+3) - 12}{(a-3)(a+3)} = \frac{3a - 9 + 2a + 6 - 12}{(a-3)(a+3)} = \frac{5a - 15}{(a-3)(a+3)}$
Вынесем общий множитель в числителе:
$\frac{5(a-3)}{(a-3)(a+3)}$
Сократим дробь на $(a-3)$, так как при $a=-8$, $a-3 = -11 \ne 0$:
$\frac{5}{a+3}$
Подставим значение $a=-8$:
$\frac{5}{-8+3} = \frac{5}{-5} = -1$
Ответ: $-1$

3) Упростим выражение, приведя все дроби к общему знаменателю $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:
$\frac{6x}{x^2-y^2} - \frac{3}{x-y} - \frac{4}{x+y} = \frac{6x}{(x-y)(x+y)} - \frac{3(x+y)}{(x-y)(x+y)} - \frac{4(x-y)}{(x-y)(x+y)}$
Запишем все под одной дробной чертой:
$\frac{6x - 3(x+y) - 4(x-y)}{x^2-y^2} = \frac{6x - 3x - 3y - 4x + 4y}{x^2-y^2} = \frac{-x+y}{x^2-y^2}$
Вынесем минус за скобки в числителе и разложим знаменатель на множители:
$\frac{-(x-y)}{(x-y)(x+y)}$
Сократим дробь на $(x-y)$. Проверим, что $x-y \ne 0$: $x-y = \frac{3}{7} - (-\frac{1}{21}) = \frac{9}{21} + \frac{1}{21} = \frac{10}{21} \ne 0$.
$\frac{-1}{x+y}$
Теперь подставим значения $x=\frac{3}{7}$ и $y=-\frac{1}{21}$:
$x+y = \frac{3}{7} + (-\frac{1}{21}) = \frac{9}{21} - \frac{1}{21} = \frac{8}{21}$
$\frac{-1}{\frac{8}{21}} = -1 \cdot \frac{21}{8} = -\frac{21}{8}$
Ответ: $-\frac{21}{8}$

4) Упростим выражение. Используем формулы $9-4a^2 = (3-2a)(3+2a)$ и $2a-3 = -(3-2a)$.
$\frac{18}{9-4a^2} - \frac{4}{2a+3} + \frac{3}{2a-3} = \frac{18}{(3-2a)(3+2a)} - \frac{4}{3+2a} - \frac{3}{3-2a}$
Приведем дроби к общему знаменателю $(3-2a)(3+2a)$:
$\frac{18}{(3-2a)(3+2a)} - \frac{4(3-2a)}{(3+2a)(3-2a)} - \frac{3(3+2a)}{(3-2a)(3+2a)}$
Запишем все под одной дробной чертой:
$\frac{18 - 4(3-2a) - 3(3+2a)}{(3-2a)(3+2a)} = \frac{18 - 12 + 8a - 9 - 6a}{9-4a^2} = \frac{2a - 3}{9-4a^2}$
Заметим, что $2a-3 = -(3-2a)$ и $9-4a^2 = (3-2a)(3+2a)$:
$\frac{-(3-2a)}{(3-2a)(3+2a)}$
Сократим дробь на $(3-2a)$. Проверим, что $3-2a \ne 0$ при $a=-0,6$: $3 - 2(-0,6) = 3 + 1,2 = 4,2 \ne 0$.
$\frac{-1}{3+2a}$
Подставим значение $a=-0,6$:
$\frac{-1}{3+2(-0,6)} = \frac{-1}{3-1,2} = \frac{-1}{1,8} = -\frac{1}{18/10} = -\frac{10}{18} = -\frac{5}{9}$
Ответ: $-\frac{5}{9}$