Номер 42, страница 19 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 42, страница 19.

Условие.

42. 1) $\frac{2}{x^2 - 9} + \frac{1}{x + 3}$;

2) $\frac{5 + p^2}{p^2 - 36} - \frac{p}{6 + p}$;

3) $\frac{2x}{x - 4} - \frac{5x - 2}{x^2 - 16}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) $\frac{2}{x^2-9} + \frac{1}{x+3}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Знаменатель первой дроби $x^2-9$ можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$. Знаменатель второй дроби - $(x+3)$.

Общий знаменатель для этих дробей - $(x-3)(x+3)$.

Домножим числитель и знаменатель второй дроби на $(x-3)$:

$\frac{2}{(x-3)(x+3)} + \frac{1 \cdot (x-3)}{(x+3)(x-3)} = \frac{2 + (x-3)}{(x-3)(x+3)}$

Теперь сложим числители, оставив знаменатель прежним:

$\frac{2 + x - 3}{(x-3)(x+3)} = \frac{x-1}{x^2-9}$

Ответ: $\frac{x-1}{x^2-9}$

2) $\frac{5+p^2}{p^2-36} - \frac{p}{6+p}$

Для вычитания дробей найдем общий знаменатель. Разложим знаменатель первой дроби на множители: $p^2-36 = (p-6)(p+6)$. Знаменатель второй дроби $6+p$ равен $p+6$.

Общий знаменатель - $(p-6)(p+6)$.

Домножим числитель и знаменатель второй дроби на недостающий множитель $(p-6)$:

$\frac{5+p^2}{(p-6)(p+6)} - \frac{p \cdot (p-6)}{(p+6)(p-6)} = \frac{5+p^2 - p(p-6)}{(p-6)(p+6)}$

Раскроем скобки в числителе и выполним вычитание:

$\frac{5+p^2 - (p^2-6p)}{(p-6)(p+6)} = \frac{5+p^2-p^2+6p}{p^2-36} = \frac{6p+5}{p^2-36}$

Ответ: $\frac{6p+5}{p^2-36}$

3) $\frac{2x}{x-4} - \frac{5x-2}{x^2-16}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатель второй дроби $x^2-16$ разложим по формуле разности квадратов: $x^2 - 16 = (x-4)(x+4)$. Знаменатель первой дроби - $(x-4)$.

Общий знаменатель - $(x-4)(x+4)$.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(x+4)$:

$\frac{2x \cdot (x+4)}{(x-4)(x+4)} - \frac{5x-2}{(x-4)(x+4)} = \frac{2x(x+4) - (5x-2)}{(x-4)(x+4)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{2x^2+8x - 5x + 2}{(x-4)(x+4)} = \frac{2x^2+3x+2}{x^2-16}$

Числитель $2x^2+3x+2$ не раскладывается на множители с действительными корнями, так как его дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 - 16 = -7 < 0$. Поэтому дальнейшее упрощение невозможно.

Ответ: $\frac{2x^2+3x+2}{x^2-16}$