Номер 44, страница 19 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 44, страница 19.

Условие.

44. 1) $ \frac{12n-5}{n^2-49} + \frac{6}{7-n} $

2) $ \frac{c^2-8}{2c+3} - \frac{16c-2c^3}{9-4c^2} $

3) $ \frac{21y^2+1}{1-9y^2} - \frac{y}{3y-1} $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Решим пример $\frac{12n-5}{n^2-49} + \frac{6}{7-n}$.

Для начала, разложим знаменатель первой дроби на множители, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$n^2 - 49 = n^2 - 7^2 = (n-7)(n+7)$.

Заметим, что знаменатель второй дроби $7-n$ можно представить в виде $-(n-7)$. Преобразуем вторую дробь:

$\frac{6}{7-n} = \frac{6}{-(n-7)} = -\frac{6}{n-7}$.

Теперь исходное выражение можно переписать так:

$\frac{12n-5}{(n-7)(n+7)} - \frac{6}{n-7}$.

Общий знаменатель для этих дробей – $(n-7)(n+7)$. Приведем вторую дробь к общему знаменателю, домножив её числитель и знаменатель на $(n+7)$:

$\frac{6}{n-7} = \frac{6(n+7)}{(n-7)(n+7)} = \frac{6n+42}{(n-7)(n+7)}$.

Выполним вычитание дробей:

$\frac{12n-5}{(n-7)(n+7)} - \frac{6n+42}{(n-7)(n+7)} = \frac{(12n-5) - (6n+42)}{(n-7)(n+7)}$.

Упростим числитель, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

$12n-5-6n-42 = (12n-6n) + (-5-42) = 6n-47$.

Итоговое выражение:

$\frac{6n-47}{(n-7)(n+7)} = \frac{6n-47}{n^2-49}$.

Ответ: $\frac{6n-47}{n^2-49}$.

2) Решим пример $\frac{c^2-8}{2c+3} - \frac{16c-2c^3}{9-4c^2}$.

Разложим знаменатель второй дроби $9-4c^2$ на множители как разность квадратов:

$9-4c^2 = 3^2 - (2c)^2 = (3-2c)(3+2c)$.

Выражение принимает вид:

$\frac{c^2-8}{2c+3} - \frac{16c-2c^3}{(3-2c)(3+2c)}$.

Общим знаменателем является $(3-2c)(3+2c)$, так как $3+2c = 2c+3$. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на недостающий множитель $(3-2c)$:

$\frac{(c^2-8)(3-2c)}{(2c+3)(3-2c)} = \frac{3c^2-2c^3-24+16c}{(3-2c)(3+2c)}$.

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{(3c^2-2c^3-24+16c) - (16c-2c^3)}{(3-2c)(3+2c)}$.

Упростим числитель:

$3c^2-2c^3-24+16c - 16c+2c^3 = 3c^2-24$.

Запишем результат:

$\frac{3c^2-24}{(3-2c)(3+2c)} = \frac{3c^2-24}{9-4c^2}$.

Ответ: $\frac{3c^2-24}{9-4c^2}$.

3) Решим пример $\frac{21y^2+1}{1-9y^2} - \frac{y}{3y-1}$.

Разложим на множители знаменатель первой дроби $1-9y^2$ по формуле разности квадратов:

$1-9y^2 = 1^2 - (3y)^2 = (1-3y)(1+3y)$.

Знаменатель второй дроби $3y-1$ связан со знаменателем первой: $3y-1 = -(1-3y)$. Используем это для преобразования знака перед второй дробью:

$\frac{21y^2+1}{(1-3y)(1+3y)} - \frac{y}{-(1-3y)} = \frac{21y^2+1}{(1-3y)(1+3y)} + \frac{y}{1-3y}$.

Общий знаменатель – $(1-3y)(1+3y)$. Приведем вторую дробь к общему знаменателю, умножив ее числитель и знаменатель на $(1+3y)$:

$\frac{y(1+3y)}{(1-3y)(1+3y)} = \frac{y+3y^2}{(1-3y)(1+3y)}$.

Теперь сложим дроби:

$\frac{(21y^2+1) + (y+3y^2)}{(1-3y)(1+3y)}$.

Упростим числитель, приведя подобные слагаемые:

$21y^2+1+y+3y^2 = (21y^2+3y^2)+y+1 = 24y^2+y+1$.

Финальный результат:

$\frac{24y^2+y+1}{(1-3y)(1+3y)} = \frac{24y^2+y+1}{1-9y^2}$.

Ответ: $\frac{24y^2+y+1}{1-9y^2}$.