Номер 39, страница 19 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 39, страница 19.

Условие.

39. 1) $\frac{3c}{4a^3b} + \frac{5d}{6ab^3};$

2) $\frac{2}{3y^3} - \frac{1}{6x^2y} + \frac{5}{12xy^2};$

3) $\frac{b}{c} + \frac{b}{c^2d} + \frac{b}{cd^2}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Чтобы сложить дроби $ \frac{3c}{4a^3b} $ и $ \frac{5d}{6ab^3} $, их нужно привести к общему знаменателю.

Сначала найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ) для знаменателей $4a^3b$ и $6ab^3$.
1. Наименьшее общее кратное (НОК) для числовых коэффициентов 4 и 6 равно 12.
2. Для переменных берем каждую в наибольшей степени, в которой она встречается в знаменателях: для $a$ это $a^3$, для $b$ это $b^3$.
Таким образом, НОЗ равен $12a^3b^3$.

Теперь найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим НОЗ на знаменатель каждой дроби:
- для первой дроби: $ \frac{12a^3b^3}{4a^3b} = 3b^2 $
- для второй дроби: $ \frac{12a^3b^3}{6ab^3} = 2a^2 $

Умножим числитель каждой дроби на ее дополнительный множитель:

$ \frac{3c \cdot (3b^2)}{12a^3b^3} + \frac{5d \cdot (2a^2)}{12a^3b^3} = \frac{9b^2c}{12a^3b^3} + \frac{10a^2d}{12a^3b^3} $

Сложим числители, оставив общий знаменатель без изменений:

$ \frac{9b^2c + 10a^2d}{12a^3b^3} $

Для удобства записи можно упорядочить слагаемые в числителе по алфавиту.

Ответ: $ \frac{10a^2d + 9b^2c}{12a^3b^3} $

2) Выполним действия с дробями $ \frac{2}{3y^3} - \frac{1}{6x^2y} + \frac{5}{12xy^2} $.

Найдем наименьший общий знаменатель для $3y^3$, $6x^2y$ и $12xy^2$.
1. НОК для коэффициентов 3, 6 и 12 равно 12.
2. Для переменных берем каждую в наибольшей степени: для $x$ это $x^2$, для $y$ это $y^3$.
Следовательно, НОЗ равен $12x^2y^3$.

Найдем дополнительные множители:
- для первой дроби: $ \frac{12x^2y^3}{3y^3} = 4x^2 $
- для второй дроби: $ \frac{12x^2y^3}{6x^2y} = 2y^2 $
- для третьей дроби: $ \frac{12x^2y^3}{12xy^2} = xy $

Умножим числители на их дополнительные множители и приведем к общему знаменателю:

$ \frac{2 \cdot (4x^2)}{12x^2y^3} - \frac{1 \cdot (2y^2)}{12x^2y^3} + \frac{5 \cdot (xy)}{12x^2y^3} = \frac{8x^2}{12x^2y^3} - \frac{2y^2}{12x^2y^3} + \frac{5xy}{12x^2y^3} $

Объединим числители под общим знаменателем:

$ \frac{8x^2 - 2y^2 + 5xy}{12x^2y^3} $

Расположим члены в числителе в стандартном порядке.

Ответ: $ \frac{8x^2 + 5xy - 2y^2}{12x^2y^3} $

3) Выполним сложение дробей $ \frac{b}{c} + \frac{b}{c^2d} + \frac{b}{cd^2} $.

Найдем наименьший общий знаменатель для $c$, $c^2d$ и $cd^2$.
Для этого берем каждую переменную в наибольшей степени: для $c$ это $c^2$, для $d$ это $d^2$.
НОЗ равен $c^2d^2$.

Найдем дополнительные множители:
- для первой дроби: $ \frac{c^2d^2}{c} = cd^2 $
- для второй дроби: $ \frac{c^2d^2}{c^2d} = d $
- для третьей дроби: $ \frac{c^2d^2}{cd^2} = c $

Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{b \cdot (cd^2)}{c^2d^2} + \frac{b \cdot (d)}{c^2d^2} + \frac{b \cdot (c)}{c^2d^2} = \frac{bcd^2}{c^2d^2} + \frac{bd}{c^2d^2} + \frac{bc}{c^2d^2} $

Сложим числители:

$ \frac{bcd^2 + bd + bc}{c^2d^2} $

Можно вынести общий множитель $b$ в числителе за скобки для упрощения вида выражения.

$ \frac{b(cd^2 + d + c)}{c^2d^2} $

Ответ: $ \frac{b(cd^2 + c + d)}{c^2d^2} $