Номер 2, страница 18 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Вводные упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 2, страница 18.

Условие.

2. Выполнить действия:

1) $21x^5y^6 \cdot 2y^3;$

2) $3a^4b^5 \cdot 6a^2b;$

3) $(4a^6 - b) \cdot ab;$

4) $2xy^3 \cdot (x + y);$

5) $27a^3b^8 : (3ab^2);$

6) $(a - 3b) \cdot (3b + a).$

Решение 4.

1) Чтобы перемножить одночлены, нужно перемножить их числовые коэффициенты и сложить показатели степеней с одинаковыми основаниями.

Выполним умножение коэффициентов: $21 \cdot 2 = 42$.

Выполним умножение степеней: $x^5$ остается без изменений, так как во втором множителе нет переменной $x$. Для $y$ складываем показатели: $y^6 \cdot y^3 = y^{6+3} = y^9$.

Соединяем результаты: $21x^5y^6 \cdot 2y^3 = (21 \cdot 2) \cdot x^5 \cdot (y^6 \cdot y^3) = 42x^5y^9$.

Ответ: $42x^5y^9$

2) Аналогично первому пункту, перемножаем коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.

Умножение коэффициентов: $3 \cdot 6 = 18$.

Умножение степеней: $a^4 \cdot a^2 = a^{4+2} = a^6$. $b^5 \cdot b = b^{5+1} = b^6$.

Соединяем результаты: $3a^4b^5 \cdot 6a^2b = (3 \cdot 6) \cdot (a^4 \cdot a^2) \cdot (b^5 \cdot b^1) = 18a^6b^6$.

Ответ: $18a^6b^6$

3) Для умножения многочлена на одночлен нужно каждый член многочлена умножить на этот одночлен и полученные произведения сложить. Используем распределительный закон умножения.

$(4a^6 - b) \cdot ab = 4a^6 \cdot ab - b \cdot ab$.

Умножаем первый член: $4a^6 \cdot ab = 4 \cdot a^6 \cdot a \cdot b = 4a^{6+1}b = 4a^7b$.

Умножаем второй член: $b \cdot ab = a \cdot b \cdot b = ab^{1+1} = ab^2$.

Результат: $4a^7b - ab^2$.

Ответ: $4a^7b - ab^2$

4) Используем распределительный закон умножения, как и в предыдущем примере.

$2xy^3 \cdot (x + y) = 2xy^3 \cdot x + 2xy^3 \cdot y$.

Умножаем на $x$: $2xy^3 \cdot x = 2 \cdot x \cdot x \cdot y^3 = 2x^{1+1}y^3 = 2x^2y^3$.

Умножаем на $y$: $2xy^3 \cdot y = 2x \cdot y^3 \cdot y = 2xy^{3+1} = 2xy^4$.

Складываем результаты: $2x^2y^3 + 2xy^4$.

Ответ: $2x^2y^3 + 2xy^4$

5) Чтобы разделить одночлен на одночлен, нужно разделить их числовые коэффициенты и вычесть из показателя степени делимого показатель степени делителя для каждой переменной.

$27a^3b^8 : (3ab^2) = \frac{27a^3b^8}{3ab^2}$.

Делим коэффициенты: $27 : 3 = 9$.

Делим степени: $a^3 : a^1 = a^{3-1} = a^2$. $b^8 : b^2 = b^{8-2} = b^6$.

Соединяем результаты: $9a^2b^6$.

Ответ: $9a^2b^6$

6) В этом примере мы умножаем два двучлена. Можно заметить, что это формула разности квадратов.

Переставим слагаемые во второй скобке: $(3b + a) = (a + 3b)$.

Выражение принимает вид: $(a - 3b)(a + 3b)$.

Используем формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$, где $x=a$ и $y=3b$.

$(a - 3b)(a + 3b) = a^2 - (3b)^2 = a^2 - 3^2 \cdot b^2 = a^2 - 9b^2$.

Ответ: $a^2 - 9b^2$