Номер 3, страница 18 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 3, страница 18.

Условие.

3. Как можно упростить результат действий с алгебраическими дробями?

Решение 4.

Чтобы упростить результат действий с алгебраическими дробями, то есть выполнить сокращение дроби, необходимо последовательно выполнить несколько шагов. Основной принцип заключается в разложении числителя и знаменателя на множители и последующем сокращении общих из них.

1. Разложение числителя и знаменателя на множители

Это ключевой этап. Для разложения многочленов в числителе и знаменателе на множители используются следующие основные методы:

• Вынесение общего множителя за скобки. Например, $3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$.
• Применение формул сокращенного умножения:
  • Разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
  • Квадрат суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
  • Квадрат разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
  • Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
  • Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
• Метод группировки. Применяется, когда у всех слагаемых нет общего множителя, но их можно сгруппировать так, чтобы у каждой группы появился свой общий множитель. Например, $xy - 2y + 3x - 6 = y(x - 2) + 3(x - 2) = (x-2)(y+3)$.
• Разложение квадратного трехчлена. Квадратный трехчлен вида $ax^2 + bx + c$ раскладывается на множители по формуле $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — это корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

2. Сокращение дроби

После того как числитель и знаменатель разложены на множители, нужно найти одинаковые (общие) множители и разделить на них и числитель, и знаменатель. Это действие основано на основном свойстве дроби.

Пример:

Допустим, в результате выполненных действий мы получили дробь, которую нужно упростить:

$\frac{2x^2 + 4x + 2}{x^2 - 1}$

Шаг 1: Разложим на множители числитель.
Сначала вынесем общий множитель 2 за скобки: $2(x^2 + 2x + 1)$.
Выражение в скобках является квадратом суммы: $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$.
Таким образом, числитель равен $2(x+1)^2$.

Шаг 2: Разложим на множители знаменатель.
Знаменатель $x^2 - 1$ — это разность квадратов: $x^2 - 1^2 = (x-1)(x+1)$.

Шаг 3: Подставим разложенные выражения в дробь и сократим.
$\frac{2(x+1)^2}{(x-1)(x+1)} = \frac{2(x+1)(x+1)}{(x-1)(x+1)}$

Общий множитель здесь — $(x+1)$. Сокращаем на него (при условии, что $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$):

$\frac{2\cancel{(x+1)}(x+1)}{(x-1)\cancel{(x+1)}} = \frac{2(x+1)}{x-1}$

Результат упрощен. Дальнейшее сокращение невозможно.

Ответ: Чтобы упростить результат действий с алгебраическими дробями, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители всеми доступными способами, а затем сократить дробь на все общие множители.