Номер 31, страница 15 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 2. Приведение дробей к общему знаменателю. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 31, страница 15.

Условие.

31. Записать выражения в виде дробей с одинаковыми знаменателями:

1) $a$ и $\frac{c}{b}$;

2) $ab, \frac{3c}{2b}$ и $\frac{a}{4b}$;

3) $ab, \frac{3}{4ab}$ и $\frac{2}{ab^2}$;

4) $3b$ и $\frac{7}{6a}$;

5) $a-b, \frac{1}{a+b}$ и $\frac{1}{a-b}$;

6) $a+b, \frac{3}{ab}$ и $\frac{1}{a-b}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Даны выражения $a$ и $\frac{c}{b}$. Чтобы привести их к общему знаменателю, представим выражение $a$ в виде дроби со знаменателем 1: $a = \frac{a}{1}$. Знаменатели данных дробей — это 1 и $b$. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для них — это $b$.
Приведем дробь $\frac{a}{1}$ к знаменателю $b$, умножив ее числитель и знаменатель на дополнительный множитель $b$:
$\frac{a}{1} = \frac{a \cdot b}{1 \cdot b} = \frac{ab}{b}$.
Вторая дробь $\frac{c}{b}$ уже имеет требуемый знаменатель.
Ответ: $\frac{ab}{b}$ и $\frac{c}{b}$.

2) Даны выражения $ab$, $\frac{3c}{2b}$ и $\frac{a}{4b}$. Представим $ab$ в виде дроби $\frac{ab}{1}$. Знаменатели дробей — это $1$, $2b$ и $4b$. Наименьший общий знаменатель для них — $4b$.
Приведем каждую дробь к знаменателю $4b$:
Для дроби $\frac{ab}{1}$ дополнительный множитель равен $4b$: $\frac{ab \cdot 4b}{1 \cdot 4b} = \frac{4ab^2}{4b}$.
Для дроби $\frac{3c}{2b}$ дополнительный множитель равен $2$: $\frac{3c \cdot 2}{2b \cdot 2} = \frac{6c}{4b}$.
Дробь $\frac{a}{4b}$ уже имеет знаменатель $4b$.
Ответ: $\frac{4ab^2}{4b}$, $\frac{6c}{4b}$ и $\frac{a}{4b}$.

3) Даны выражения $ab$, $\frac{3}{4ab}$ и $\frac{2}{ab^2}$. Представим $ab$ в виде дроби $\frac{ab}{1}$. Знаменатели дробей — это $1$, $4ab$ и $ab^2$. Наименьший общий знаменатель для них — $4ab^2$.
Приведем каждую дробь к знаменателю $4ab^2$:
Для дроби $\frac{ab}{1}$ дополнительный множитель равен $4ab^2$: $\frac{ab \cdot 4ab^2}{1 \cdot 4ab^2} = \frac{4a^2b^3}{4ab^2}$.
Для дроби $\frac{3}{4ab}$ дополнительный множитель равен $b$: $\frac{3 \cdot b}{4ab \cdot b} = \frac{3b}{4ab^2}$.
Для дроби $\frac{2}{ab^2}$ дополнительный множитель равен $4$: $\frac{2 \cdot 4}{ab^2 \cdot 4} = \frac{8}{4ab^2}$.
Ответ: $\frac{4a^2b^3}{4ab^2}$, $\frac{3b}{4ab^2}$ и $\frac{8}{4ab^2}$.

4) Даны выражения $3b$ и $\frac{7}{6a}$. Представим $3b$ в виде дроби $\frac{3b}{1}$. Знаменатели дробей — $1$ и $6a$. Наименьший общий знаменатель — $6a$.
Приведем дробь $\frac{3b}{1}$ к знаменателю $6a$, умножив числитель и знаменатель на $6a$:
$\frac{3b}{1} = \frac{3b \cdot 6a}{1 \cdot 6a} = \frac{18ab}{6a}$.
Вторая дробь $\frac{7}{6a}$ уже имеет нужный знаменатель.
Ответ: $\frac{18ab}{6a}$ и $\frac{7}{6a}$.

5) Даны выражения $a-b$, $\frac{1}{a+b}$ и $\frac{1}{a-b}$. Представим $a-b$ в виде дроби $\frac{a-b}{1}$. Знаменатели дробей — $1$, $a+b$ и $a-b$. Наименьший общий знаменатель — это произведение $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$.
Приведем каждую дробь к знаменателю $a^2-b^2$:
Для $\frac{a-b}{1}$ дополнительный множитель $(a+b)(a-b)$: $\frac{(a-b) \cdot (a+b)(a-b)}{1 \cdot (a+b)(a-b)} = \frac{(a-b)^2(a+b)}{a^2-b^2}$.
Для $\frac{1}{a+b}$ дополнительный множитель $(a-b)$: $\frac{1 \cdot (a-b)}{(a+b)(a-b)} = \frac{a-b}{a^2-b^2}$.
Для $\frac{1}{a-b}$ дополнительный множитель $(a+b)$: $\frac{1 \cdot (a+b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a+b}{a^2-b^2}$.
Ответ: $\frac{(a-b)^2(a+b)}{a^2-b^2}$, $\frac{a-b}{a^2-b^2}$ и $\frac{a+b}{a^2-b^2}$.

6) Даны выражения $a+b$, $\frac{3}{ab}$ и $\frac{1}{a-b}$. Представим $a+b$ как дробь $\frac{a+b}{1}$. Знаменатели дробей — $1$, $ab$ и $a-b$. Так как у них нет общих множителей, наименьший общий знаменатель равен их произведению: $ab(a-b)$.
Приведем каждую дробь к знаменателю $ab(a-b)$:
Для $\frac{a+b}{1}$ дополнительный множитель $ab(a-b)$: $\frac{(a+b) \cdot ab(a-b)}{1 \cdot ab(a-b)} = \frac{ab(a+b)(a-b)}{ab(a-b)} = \frac{ab(a^2-b^2)}{ab(a-b)}$.
Для $\frac{3}{ab}$ дополнительный множитель $(a-b)$: $\frac{3 \cdot (a-b)}{ab(a-b)} = \frac{3(a-b)}{ab(a-b)}$.
Для $\frac{1}{a-b}$ дополнительный множитель $ab$: $\frac{1 \cdot ab}{(a-b) \cdot ab} = \frac{ab}{ab(a-b)}$.
Ответ: $\frac{ab(a^2-b^2)}{ab(a-b)}$, $\frac{3(a-b)}{ab(a-b)}$ и $\frac{ab}{ab(a-b)}$.