Номер 32, страница 15 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 2. Приведение дробей к общему знаменателю. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 32, страница 15.

Условие.

32. Привести к общему знаменателю:

1) $ \frac{1}{a^2 - 4b^2} $, $ \frac{1}{3a^2 + 6ab} $ и $ \frac{1}{2ab - a^2} $;

2) $ \frac{5}{4x - 4} $, $ \frac{4x}{1 - x^2} $ и $ \frac{1}{3x^2 + 3x} $;

3) $ \frac{5x}{x^2 - 4} $, $ \frac{3x + y}{x^2 + 4x + 4} $ и $ \frac{y - x}{x^2 - 4x + 4} $;

4) $ \frac{3a}{2a - 3} $, $ \frac{4a}{2a + 3} $ и $ \frac{5b}{4a^2 c - 9c} $.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Чтобы привести дроби $\frac{1}{a^2 - 4b^2}$, $\frac{1}{3a^2 + 6ab}$ и $\frac{1}{2ab - a^2}$ к общему знаменателю, сначала разложим каждый знаменатель на множители.
Знаменатель первой дроби: $a^2 - 4b^2 = (a - 2b)(a + 2b)$ (формула разности квадратов).
Знаменатель второй дроби: $3a^2 + 6ab = 3a(a + 2b)$ (вынесение общего множителя за скобки).
Знаменатель третьей дроби: $2ab - a^2 = a(2b - a) = -a(a - 2b)$ (вынесение общего множителя и смена знака).
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) должен включать все уникальные множители в их наивысшей степени. Множители: $3$, $a$, $(a - 2b)$, $(a + 2b)$.
Таким образом, НОЗ равен $3a(a - 2b)(a + 2b) = 3a(a^2 - 4b^2)$.
Теперь приведем каждую дробь к этому знаменателю, умножив числитель и знаменатель на соответствующий дополнительный множитель.
Для дроби $\frac{1}{a^2 - 4b^2} = \frac{1}{(a - 2b)(a + 2b)}$ дополнительный множитель: $3a$.
$\frac{1 \cdot 3a}{(a - 2b)(a + 2b) \cdot 3a} = \frac{3a}{3a(a^2 - 4b^2)}$.
Для дроби $\frac{1}{3a^2 + 6ab} = \frac{1}{3a(a + 2b)}$ дополнительный множитель: $(a - 2b)$.
$\frac{1 \cdot (a - 2b)}{3a(a + 2b) \cdot (a - 2b)} = \frac{a - 2b}{3a(a^2 - 4b^2)}$.
Для дроби $\frac{1}{2ab - a^2} = \frac{1}{-a(a - 2b)}$ дополнительный множитель: $-3(a + 2b)$.
$\frac{1 \cdot (-3(a + 2b))}{-a(a - 2b) \cdot (-3(a + 2b))} = \frac{-3a - 6b}{3a(a - 2b)(a + 2b)} = \frac{-3a - 6b}{3a(a^2 - 4b^2)}$.
Ответ: $\frac{3a}{3a(a^2 - 4b^2)}$, $\frac{a - 2b}{3a(a^2 - 4b^2)}$, $\frac{-3a - 6b}{3a(a^2 - 4b^2)}$.

2) Чтобы привести дроби $\frac{5}{4x - 4}$, $\frac{4x}{1 - x^2}$ и $\frac{1}{3x^2 + 3x}$ к общему знаменателю, разложим знаменатели на множители.
$4x - 4 = 4(x - 1)$.
$1 - x^2 = (1 - x)(1 + x) = -(x - 1)(x + 1)$.
$3x^2 + 3x = 3x(x + 1)$.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) находим как произведение всех уникальных множителей в наивысшей степени. Множители: $4$, $3$, $x$, $(x-1)$, $(x+1)$. НОК(4, 3) = 12.
НОЗ = $12x(x - 1)(x + 1) = 12x(x^2 - 1)$.
Приводим дроби к общему знаменателю:
Для $\frac{5}{4(x - 1)}$ дополнительный множитель: $3x(x + 1)$.
$\frac{5 \cdot 3x(x + 1)}{4(x - 1) \cdot 3x(x + 1)} = \frac{15x^2 + 15x}{12x(x^2 - 1)}$.
Для $\frac{4x}{1 - x^2} = \frac{4x}{-(x - 1)(x + 1)}$ дополнительный множитель: $-12x$.
$\frac{4x \cdot (-12x)}{-(x - 1)(x + 1) \cdot (-12x)} = \frac{-48x^2}{12x(x^2 - 1)}$.
Для $\frac{1}{3x(x + 1)}$ дополнительный множитель: $4(x - 1)$.
$\frac{1 \cdot 4(x - 1)}{3x(x + 1) \cdot 4(x - 1)} = \frac{4x - 4}{12x(x^2 - 1)}$.
Ответ: $\frac{15x^2 + 15x}{12x(x^2 - 1)}$, $\frac{-48x^2}{12x(x^2 - 1)}$, $\frac{4x - 4}{12x(x^2 - 1)}$.

3) Чтобы привести дроби $\frac{5x}{x^2 - 4}$, $\frac{3x + y}{x^2 + 4x + 4}$ и $\frac{y - x}{x^2 - 4x + 4}$ к общему знаменателю, разложим знаменатели на множители.
$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ (разность квадратов).
$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$ (квадрат суммы).
$x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$ (квадрат разности).
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) должен содержать каждый множитель в наивысшей из встречающихся степеней.
НОЗ = $(x - 2)^2(x + 2)^2 = ((x - 2)(x + 2))^2 = (x^2 - 4)^2$.
Приводим дроби к общему знаменателю:
Для $\frac{5x}{x^2 - 4}$ дополнительный множитель: $(x^2 - 4)$.
$\frac{5x \cdot (x^2 - 4)}{(x^2 - 4) \cdot (x^2 - 4)} = \frac{5x(x^2 - 4)}{(x^2 - 4)^2}$.
Для $\frac{3x + y}{(x + 2)^2}$ дополнительный множитель: $(x - 2)^2$.
$\frac{(3x + y) \cdot (x - 2)^2}{(x + 2)^2 \cdot (x - 2)^2} = \frac{(3x + y)(x - 2)^2}{(x^2 - 4)^2}$.
Для $\frac{y - x}{(x - 2)^2}$ дополнительный множитель: $(x + 2)^2$.
$\frac{(y - x) \cdot (x + 2)^2}{(x - 2)^2 \cdot (x + 2)^2} = \frac{(y - x)(x + 2)^2}{(x^2 - 4)^2}$.
Ответ: $\frac{5x(x^2 - 4)}{(x^2 - 4)^2}$, $\frac{(3x + y)(x - 2)^2}{(x^2 - 4)^2}$, $\frac{(y - x)(x + 2)^2}{(x^2 - 4)^2}$.

4) Чтобы привести дроби $\frac{3a}{2a - 3}$, $\frac{4a}{2a + 3}$ и $\frac{5b}{4a^2c - 9c}$ к общему знаменателю, разложим знаменатели на множители.
Знаменатели $2a - 3$ и $2a + 3$ являются простыми.
$4a^2c - 9c = c(4a^2 - 9) = c(2a - 3)(2a + 3)$.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен произведению всех уникальных множителей: $c(2a - 3)(2a + 3) = c(4a^2 - 9)$.
Приводим дроби к общему знаменателю:
Для $\frac{3a}{2a - 3}$ дополнительный множитель: $c(2a + 3)$.
$\frac{3a \cdot c(2a + 3)}{(2a - 3) \cdot c(2a + 3)} = \frac{3ac(2a + 3)}{c(4a^2 - 9)} = \frac{6a^2c + 9ac}{c(4a^2 - 9)}$.
Для $\frac{4a}{2a + 3}$ дополнительный множитель: $c(2a - 3)$.
$\frac{4a \cdot c(2a - 3)}{(2a + 3) \cdot c(2a - 3)} = \frac{4ac(2a - 3)}{c(4a^2 - 9)} = \frac{8a^2c - 12ac}{c(4a^2 - 9)}$.
Знаменатель третьей дроби $\frac{5b}{c(4a^2 - 9)}$ уже является общим, поэтому она не изменяется (дополнительный множитель 1).
Ответ: $\frac{6a^2c + 9ac}{c(4a^2 - 9)}$, $\frac{8a^2c - 12ac}{c(4a^2 - 9)}$, $\frac{5b}{c(4a^2 - 9)}$.