Номер 25, страница 14 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 2. Приведение дробей к общему знаменателю. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 25, страница 14.

Условие.

Привести дроби к общему знаменателю (25–30).

25. 1) $ \frac{1}{2} $ и $ \frac{2}{3} $;

2) $ \frac{5}{7} $ и $ \frac{3}{14} $;

3) $ \frac{1}{3a} $ и $ \frac{2}{a} $;

4) $ \frac{a}{b} $ и $ \frac{a}{2b} $.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Даны дроби $\frac{1}{2}$ и $\frac{2}{3}$.

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей. Знаменатели данных дробей — это 2 и 3.

Найдем НОК(2, 3). Так как 2 и 3 являются взаимно простыми числами, их наименьшее общее кратное равно их произведению: $НОК(2, 3) = 2 \times 3 = 6$.

Теперь найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим общий знаменатель на знаменатель каждой дроби.

Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{1}{2}$ равен $6 \div 2 = 3$.

Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{2}{3}$ равен $6 \div 3 = 2$.

Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель:

$\frac{1}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6}$

$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6}$

Таким образом, мы привели исходные дроби к общему знаменателю 6.

Ответ: $\frac{3}{6}$ и $\frac{4}{6}$.

2) Даны дроби $\frac{5}{7}$ и $\frac{3}{14}$.

Знаменатели дробей — 7 и 14. Найдем их наименьшее общее кратное.

Заметим, что 14 делится на 7 без остатка ($14 = 7 \times 2$). Следовательно, НОК(7, 14) равно 14.

Общий знаменатель — 14.

Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{5}{7}$ равен $14 \div 7 = 2$.

Знаменатель второй дроби $\frac{3}{14}$ уже равен общему знаменателю, поэтому она остается без изменений (или ее дополнительный множитель равен 1).

Приведем первую дробь к знаменателю 14:

$\frac{5}{7} = \frac{5 \times 2}{7 \times 2} = \frac{10}{14}$

Вторая дробь остается $\frac{3}{14}$.

Ответ: $\frac{10}{14}$ и $\frac{3}{14}$.

3) Даны дроби $\frac{1}{3a}$ и $\frac{2}{a}$.

Знаменатели дробей — $3a$ и $a$ (при условии, что $a \neq 0$).

Найдем наименьший общий знаменатель. Он должен содержать все множители из обоих знаменателей в наивысшей степени. Знаменатель $3a$ состоит из множителей 3 и $a$. Знаменатель $a$ состоит из множителя $a$. Таким образом, наименьший общий знаменатель — это $3a$.

Первая дробь $\frac{1}{3a}$ уже имеет нужный знаменатель.

Для второй дроби $\frac{2}{a}$ найдем дополнительный множитель: $\frac{3a}{a} = 3$.

Умножим числитель и знаменатель второй дроби на дополнительный множитель 3:

$\frac{2}{a} = \frac{2 \times 3}{a \times 3} = \frac{6}{3a}$

Дроби, приведенные к общему знаменателю, — это $\frac{1}{3a}$ и $\frac{6}{3a}$.

Ответ: $\frac{1}{3a}$ и $\frac{6}{3a}$.

4) Даны дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{a}{2b}$.

Знаменатели дробей — $b$ и $2b$ (при условии, что $b \neq 0$).

Найдем наименьший общий знаменатель. Знаменатель $2b$ делится на знаменатель $b$ без остатка ($\frac{2b}{b} = 2$). Следовательно, наименьший общий знаменатель — это $2b$.

Для первой дроби $\frac{a}{b}$ дополнительный множитель равен $\frac{2b}{b} = 2$.

Вторая дробь $\frac{a}{2b}$ уже имеет знаменатель $2b$, поэтому она остается без изменений.

Приведем первую дробь к знаменателю $2b$:

$\frac{a}{b} = \frac{a \times 2}{b \times 2} = \frac{2a}{2b}$

Вторая дробь остается $\frac{a}{2b}$.

Ответ: $\frac{2a}{2b}$ и $\frac{a}{2b}$.