Номер 23, страница 10 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 1. Алгебраическая дробь. Сокращение дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 23, страница 10.

Условие.

23. 1) $\frac{3a^3 + ab^2 - 6a^2b - 2b^3}{9a^5 - ab^4 - 18a^4b + 2b^5}$ при $a=0,2, b=0,4;$

2) $\frac{3ac^2 + 3bc^2 - 3ab^2 - 3b^3}{6ac^2 + 6bc^2 - 6ab^2 - 6b^3}$ при $a=4,49, b=-5,1, c=0,68.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Упростим исходное выражение, разложив на множители числитель и знаменатель дроби.

Разложим на множители числитель $3a^3 + ab^2 - 6a^2b - 2b^3$. Сгруппируем слагаемые:

$(3a^3 - 6a^2b) + (ab^2 - 2b^3) = 3a^2(a - 2b) + b^2(a - 2b) = (3a^2 + b^2)(a - 2b)$

Разложим на множители знаменатель $9a^5 - ab^4 - 18a^4b + 2b^5$. Сгруппируем слагаемые:

$(9a^5 - 18a^4b) - (ab^4 - 2b^5) = 9a^4(a - 2b) - b^4(a - 2b) = (9a^4 - b^4)(a - 2b)$

Применим к выражению $9a^4 - b^4$ формулу разности квадратов:

$(3a^2)^2 - (b^2)^2 = (3a^2 - b^2)(3a^2 + b^2)$

Таким образом, знаменатель равен $(3a^2 - b^2)(3a^2 + b^2)(a - 2b)$.

Теперь запишем исходную дробь в новом виде и сократим ее:

$\frac{(3a^2 + b^2)(a - 2b)}{(3a^2 - b^2)(3a^2 + b^2)(a - 2b)} = \frac{1}{3a^2 - b^2}$

Сокращение возможно при условии, что $a - 2b \neq 0$ и $3a^2 + b^2 \neq 0$. При $a = 0,2$ и $b = 0,4$:

$a - 2b = 0,2 - 2 \cdot 0,4 = 0,2 - 0,8 = -0,6 \neq 0$

$3a^2 + b^2 = 3 \cdot (0,2)^2 + (0,4)^2 = 3 \cdot 0,04 + 0,16 = 0,12 + 0,16 = 0,28 \neq 0$

Условия выполняются. Подставим значения $a=0,2$ и $b=0,4$ в упрощенное выражение:

$\frac{1}{3 \cdot (0,2)^2 - (0,4)^2} = \frac{1}{3 \cdot 0,04 - 0,16} = \frac{1}{0,12 - 0,16} = \frac{1}{-0,04} = -25$

Ответ: -25

2) Упростим исходное выражение, разложив на множители числитель и знаменатель.

Разложим на множители числитель $3ac^2 + 3bc^2 - 3ab^2 - 3b^3$. Вынесем общий множитель $3$ и сгруппируем слагаемые:

$3(ac^2 + bc^2 - ab^2 - b^3) = 3((ac^2 + bc^2) - (ab^2 + b^3)) = 3(c^2(a+b) - b^2(a+b)) = 3(a+b)(c^2-b^2)$

Разложим на множители знаменатель $6ac^2 + 6bc^2 - 6ab^2 - 6b^3$. Вынесем общий множитель $6$:

$6(ac^2 + bc^2 - ab^2 - b^3)$

Выражение в скобках идентично выражению в числителе, поэтому знаменатель равен $6(a+b)(c^2-b^2)$.

Запишем дробь в новом виде и сократим ее:

$\frac{3(a+b)(c^2-b^2)}{6(a+b)(c^2-b^2)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0,5$

Сокращение возможно при условии, что $a+b \neq 0$ и $c^2-b^2 \neq 0$. Проверим это для заданных значений $a = 4,49$, $b = -5,1$, $c = 0,68$:

$a+b = 4,49 + (-5,1) = -0,61 \neq 0$

$c^2-b^2 = (0,68)^2 - (-5,1)^2 = 0,4624 - 26,01 \neq 0$

Поскольку условия выполняются, значение выражения не зависит от переменных и равно $0,5$.

Ответ: 0,5