Номер 18, страница 10 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 1. Алгебраическая дробь. Сокращение дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 18, страница 10.

Условие.

18. 1) $\frac{1-a^2}{(a-1)^2}$;

2) $\frac{(m-n)^2}{n-m}$;

3) $\frac{4y^2-4y+1}{2-4y}$;

4) $\frac{5-2x}{4x^2-20x+25}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Для упрощения дроби $\frac{1-a^2}{(a-1)^2}$ разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $1-a^2$ является разностью квадратов: $1-a^2 = (1-a)(1+a)$.
Знаменатель $(a-1)^2$ можно представить как $(a-1)(a-1)$. Также заметим, что $(a-1)^2 = (-(1-a))^2 = (1-a)^2$.
Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{(1-a)(1+a)}{(a-1)^2} = \frac{(1-a)(1+a)}{(1-a)^2}$
Сократим общий множитель $(1-a)$:
$\frac{1+a}{1-a}$
Ответ: $\frac{1+a}{1-a}$

2) Для упрощения дроби $\frac{(m-n)^2}{n-m}$ заметим, что выражения в числителе и знаменателе отличаются только знаком.
Вынесем $-1$ за скобки в знаменателе: $n-m = -(m-n)$.
Подставим это в дробь:
$\frac{(m-n)^2}{-(m-n)}$
Сократим общий множитель $(m-n)$:
$\frac{m-n}{-1} = -(m-n) = n-m$
Ответ: $n-m$

3) Для упрощения дроби $\frac{4y^2-4y+1}{2-4y}$ разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $4y^2-4y+1$ является полным квадратом разности по формуле $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$, где $a=2y$ и $b=1$.
$4y^2-4y+1 = (2y-1)^2$.
В знаменателе $2-4y$ вынесем общий множитель $2$ за скобки: $2-4y = 2(1-2y)$.
Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{(2y-1)^2}{2(1-2y)}$
Заметим, что $1-2y = -(2y-1)$.
$\frac{(2y-1)^2}{2(-(2y-1))} = \frac{(2y-1)^2}{-2(2y-1)}$
Сократим общий множитель $(2y-1)$:
$\frac{2y-1}{-2} = -\frac{2y-1}{2} = \frac{1-2y}{2}$
Ответ: $\frac{1-2y}{2}$

4) Для упрощения дроби $\frac{5-2x}{4x^2-20x+25}$ разложим знаменатель на множители.
Знаменатель $4x^2-20x+25$ является полным квадратом разности по формуле $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$, где $a=2x$ и $b=5$.
$4x^2-20x+25 = (2x-5)^2$.
Подставим разложенное выражение в дробь:
$\frac{5-2x}{(2x-5)^2}$
Заметим, что числитель $5-2x = -(2x-5)$.
$\frac{-(2x-5)}{(2x-5)^2}$
Сократим общий множитель $(2x-5)$:
$\frac{-1}{2x-5} = \frac{1}{-(2x-5)} = \frac{1}{5-2x}$
Ответ: $\frac{1}{5-2x}$