Номер 14, страница 10 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 1. Алгебраическая дробь. Сокращение дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 14, страница 10.

Условие.

14. 1) $\frac{12x^2 - 30xy}{30x^2 - 12xy}$,

2) $\frac{36a^2 + 24ab}{24a^2 + 36ab}$;

3) $\frac{m^3 - 3m^2n}{3m^2n - 3m^3}$;

4) $\frac{a^3 - 2a^2b}{2a^3b^2 - a^4b}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Для того чтобы сократить дробь $\frac{12x^2-30xy}{30x^2-12xy}$, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители, вынеся за скобки общие множители.
В числителе $12x^2-30xy$ общим множителем является $6x$. Вынесем его за скобки:
$12x^2-30xy = 6x(2x-5y)$.
В знаменателе $30x^2-12xy$ общим множителем также является $6x$. Вынесем его за скобки:
$30x^2-12xy = 6x(5x-2y)$.
Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь и сократим общий множитель $6x$:
$\frac{12x^2-30xy}{30x^2-12xy} = \frac{6x(2x-5y)}{6x(5x-2y)} = \frac{2x-5y}{5x-2y}$.
Ответ: $\frac{2x-5y}{5x-2y}$

2) Сократим дробь $\frac{36a^2+24ab}{24a^2+36ab}$. Для этого найдем и вынесем общие множители в числителе и знаменателе.
В числителе $36a^2+24ab$ общий множитель равен $12a$:
$36a^2+24ab = 12a(3a+2b)$.
В знаменателе $24a^2+36ab$ общий множитель также равен $12a$:
$24a^2+36ab = 12a(2a+3b)$.
Подставим полученные выражения в дробь и сократим на $12a$:
$\frac{36a^2+24ab}{24a^2+36ab} = \frac{12a(3a+2b)}{12a(2a+3b)} = \frac{3a+2b}{2a+3b}$.
Ответ: $\frac{3a+2b}{2a+3b}$

3) Сократим дробь $\frac{m^3-3m^2n}{3m^2n-3m^3}$. Разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе $m^3-3m^2n$ вынесем за скобки общий множитель $m^2$:
$m^3-3m^2n = m^2(m-3n)$.
В знаменателе $3m^2n-3m^3$ вынесем за скобки общий множитель $3m^2$:
$3m^2n-3m^3 = 3m^2(n-m)$.
Подставим разложения в дробь и сократим на общий множитель $m^2$:
$\frac{m^3-3m^2n}{3m^2n-3m^3} = \frac{m^2(m-3n)}{3m^2(n-m)} = \frac{m-3n}{3(n-m)}$.
Ответ: $\frac{m-3n}{3(n-m)}$

4) Сократим дробь $\frac{a^3-2a^2b}{2a^3b^2-a^4b}$. Для этого разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе $a^3-2a^2b$ вынесем за скобки общий множитель $a^2$:
$a^3-2a^2b = a^2(a-2b)$.
В знаменателе $2a^3b^2-a^4b$ вынесем за скобки общий множитель $a^3b$:
$2a^3b^2-a^4b = a^3b(2b-a)$.
Заметим, что выражения в скобках $(a-2b)$ и $(2b-a)$ являются противоположными, то есть $(2b-a) = -(a-2b)$.
Подставим это соотношение в дробь и выполним сокращение:
$\frac{a^3-2a^2b}{2a^3b^2-a^4b} = \frac{a^2(a-2b)}{a^3b(2b-a)} = \frac{a^2(a-2b)}{-a^3b(a-2b)} = \frac{a^2}{-a^3b}$.
Теперь сократим степени переменной $a$:
$\frac{a^2}{-a^3b} = -\frac{a^2}{a^3b} = -\frac{1}{ab}$.
Ответ: $-\frac{1}{ab}$