Номер 21, страница 10 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 1. Алгебраическая дробь. Сокращение дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 21, страница 10.

Условие.

21. Упростить:

1) $ \frac{a^2b - ab^2}{a^2 - ab} $

2) $ \frac{2a^2 - 4a}{4a - 8} $

3) $ \frac{2x^3y + 2xy^3}{x^2 + y^2} $

4) $ \frac{x^4y^2 - x^2y^4}{x^2(x + y)} $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Чтобы упростить выражение $ \frac{a^2b - ab^2}{a^2 - ab} $, разложим на множители числитель и знаменатель дроби. В числителе вынесем за скобки общий множитель $ab$:
$ a^2b - ab^2 = ab(a - b) $
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $a$:
$ a^2 - ab = a(a - b) $
Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:
$ \frac{ab(a - b)}{a(a - b)} $
Сократим дробь на общие множители $a$ и $(a - b)$ (при условии, что $a \neq 0$ и $a \neq b$).
В результате получаем $b$.
Ответ: $b$

2) Чтобы упростить выражение $ \frac{2a^2 - 4a}{4a - 8} $, разложим на множители числитель и знаменатель. В числителе вынесем за скобки общий множитель $2a$:
$ 2a^2 - 4a = 2a(a - 2) $
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $4$:
$ 4a - 8 = 4(a - 2) $
Подставим полученные выражения в дробь:
$ \frac{2a(a - 2)}{4(a - 2)} $
Сократим дробь на общий множитель $(a - 2)$ (при условии, что $a \neq 2$).
$ \frac{2a}{4} $
Далее сократим числовые коэффициенты:
$ \frac{a}{2} $
Ответ: $\frac{a}{2}$

3) Чтобы упростить выражение $ \frac{2x^3y + 2xy^3}{x^2 + y^2} $, разложим числитель на множители. Вынесем за скобки общий множитель $2xy$:
$ 2x^3y + 2xy^3 = 2xy(x^2 + y^2) $
Знаменатель $x^2 + y^2$ (сумма квадратов) на множители не раскладывается в действительных числах.
Запишем дробь в новом виде:
$ \frac{2xy(x^2 + y^2)}{x^2 + y^2} $
Сократим дробь на общий множитель $(x^2 + y^2)$ (при условии, что $x$ и $y$ не равны нулю одновременно).
В результате получаем $2xy$.
Ответ: $2xy$

4) Чтобы упростить выражение $ \frac{x^4y^2 - x^2y^4}{x^2(x + y)} $, разложим числитель на множители. Вынесем за скобки общий множитель $x^2y^2$:
$ x^4y^2 - x^2y^4 = x^2y^2(x^2 - y^2) $
Выражение в скобках $x^2 - y^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) $
Таким образом, числитель полностью разложен на множители: $x^2y^2(x - y)(x + y)$.
Подставим его в дробь:
$ \frac{x^2y^2(x - y)(x + y)}{x^2(x + y)} $
Сократим дробь на общие множители $x^2$ и $(x + y)$ (при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq -y$).
В результате получаем $y^2(x-y)$.
Ответ: $y^2(x-y)$