Номер 19, страница 10 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 1. Алгебраическая дробь. Сокращение дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 19, страница 10.

Условие.

19. 1) $\frac{4y^2 - 4y + 1}{4y^2 - 1}$;

2) $\frac{16a^2 - 1}{16a^2 - 8a + 1}$;

3) $\frac{3a^2 - 6ab + 3b^2}{6a^2 - 6b^2}$;

4) $\frac{50m^2 + 100mn + 50n^2}{15m^2 - 15n^2}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Для того, чтобы сократить дробь $\frac{4y^2 - 4y + 1}{4y^2 - 1}$, разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель $4y^2 - 4y + 1$ является полным квадратом разности. Используем формулу квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем случае $a = 2y$ и $b = 1$. Проверим: $(2y - 1)^2 = (2y)^2 - 2 \cdot 2y \cdot 1 + 1^2 = 4y^2 - 4y + 1$.
Следовательно, числитель равен $(2y - 1)^2$.

Знаменатель $4y^2 - 1$ является разностью квадратов. Используем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
В нашем случае $a = 2y$ и $b = 1$.
Следовательно, знаменатель равен $(2y - 1)(2y + 1)$.

Подставим разложенные выражения в исходную дробь и сократим общий множитель $(2y - 1)$: $\frac{(2y - 1)^2}{(2y - 1)(2y + 1)} = \frac{(2y - 1)\cancel{(2y - 1)}}{\cancel{(2y - 1)}(2y + 1)} = \frac{2y - 1}{2y + 1}$.

Ответ: $\frac{2y - 1}{2y + 1}$

2) Сократим дробь $\frac{16a^2 - 1}{16a^2 - 8a + 1}$.

Числитель $16a^2 - 1$ — это разность квадратов. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = 4a$ и $y = 1$.
$16a^2 - 1 = (4a)^2 - 1^2 = (4a - 1)(4a + 1)$.

Знаменатель $16a^2 - 8a + 1$ — это полный квадрат разности. Применим формулу $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x = 4a$ и $y = 1$.
Проверим: $(4a - 1)^2 = (4a)^2 - 2 \cdot 4a \cdot 1 + 1^2 = 16a^2 - 8a + 1$.
Значит, знаменатель равен $(4a - 1)^2$.

Подставим полученные выражения в дробь и сократим общий множитель $(4a - 1)$: $\frac{(4a - 1)(4a + 1)}{(4a - 1)^2} = \frac{\cancel{(4a - 1)}(4a + 1)}{(4a - 1)\cancel{(4a - 1)}} = \frac{4a + 1}{4a - 1}$.

Ответ: $\frac{4a + 1}{4a - 1}$

3) Упростим выражение $\frac{3a^2 - 6ab + 3b^2}{6a^2 - 6b^2}$.

Сначала вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе.
В числителе $3a^2 - 6ab + 3b^2$ общий множитель равен 3: $3(a^2 - 2ab + b^2)$.
Выражение в скобках $a^2 - 2ab + b^2$ является квадратом разности $(a - b)^2$.
Таким образом, числитель равен $3(a - b)^2$.

В знаменателе $6a^2 - 6b^2$ общий множитель равен 6: $6(a^2 - b^2)$.
Выражение в скобках $a^2 - b^2$ является разностью квадратов $(a - b)(a + b)$.
Таким образом, знаменатель равен $6(a - b)(a + b)$.

Запишем дробь с разложенными на множители числителем и знаменателем и выполним сокращение:
$\frac{3(a - b)^2}{6(a - b)(a + b)} = \frac{3(a - b)\cancel{(a - b)}}{6\cancel{(a - b)}(a + b)} = \frac{3(a - b)}{6(a + b)}$.
Сократим числовой коэффициент $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
$\frac{1(a-b)}{2(a+b)} = \frac{a-b}{2(a+b)}$.

Ответ: $\frac{a - b}{2(a + b)}$

4) Упростим выражение $\frac{50m^2 + 100mn + 50n^2}{15m^2 - 15n^2}$.

Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе.
В числителе $50m^2 + 100mn + 50n^2$ общий множитель равен 50: $50(m^2 + 2mn + n^2)$.
Выражение в скобках $m^2 + 2mn + n^2$ является квадратом суммы $(m + n)^2$.
Следовательно, числитель равен $50(m + n)^2$.

В знаменателе $15m^2 - 15n^2$ общий множитель равен 15: $15(m^2 - n^2)$.
Выражение в скобках $m^2 - n^2$ является разностью квадратов $(m - n)(m + n)$.
Следовательно, знаменатель равен $15(m - n)(m + n)$.

Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{50(m + n)^2}{15(m - n)(m + n)}$.
Сократим числовые коэффициенты: $\frac{50}{15} = \frac{10 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{3}$.
Сократим общий множитель $(m+n)$: $\frac{50(m+n)\cancel{(m+n)}}{15(m-n)\cancel{(m+n)}} = \frac{50(m+n)}{15(m-n)} = \frac{10(m+n)}{3(m-n)}$.

Ответ: $\frac{10(m + n)}{3(m - n)}$