Номер 13, страница 10 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 1. Алгебраическая дробь. Сокращение дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 13, страница 10.

Условие.

13. 1) $\frac{a^2}{a^2+ab}$;

2) $\frac{pq^3}{p^2q-pq^2}$;

3) $\frac{5k+15f}{3f+k}$;

4) $\frac{3a-6b}{12b-6a}$;

5) $\frac{2m-4n}{16n-8m}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Рассмотрим дробь $\frac{a^2}{a^2 + ab}$. Чтобы сократить эту алгебраическую дробь, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

Числитель $a^2$ можно представить как произведение $a \cdot a$.

В знаменателе $a^2 + ab$ есть общий множитель $a$, который можно вынести за скобки: $a^2 + ab = a(a+b)$.

Теперь подставим разложенные на множители выражения обратно в дробь:

$\frac{a^2}{a^2 + ab} = \frac{a \cdot a}{a(a+b)}$

Сократим общий множитель $a$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a \neq 0$):

$\frac{\cancel{a} \cdot a}{\cancel{a}(a+b)} = \frac{a}{a+b}$

Ответ: $\frac{a}{a+b}$

2)

Рассмотрим дробь $\frac{pq^3}{p^2q - pq^2}$. Для ее сокращения разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель $pq^3$ можно записать как $pq \cdot q^2$.

В знаменателе $p^2q - pq^2$ вынесем за скобки общий множитель $pq$: $p^2q - pq^2 = pq(p-q)$.

Подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{pq^3}{p^2q - pq^2} = \frac{pq \cdot q^2}{pq(p-q)}$

Сократим дробь на общий множитель $pq$ (при условии, что $p \neq 0$ и $q \neq 0$):

$\frac{\cancel{pq} \cdot q^2}{\cancel{pq}(p-q)} = \frac{q^2}{p-q}$

Ответ: $\frac{q^2}{p-q}$

3)

Рассмотрим дробь $\frac{5k + 15f}{3f + k}$.

В числителе $5k + 15f$ вынесем за скобки общий множитель $5$: $5k + 15f = 5(k+3f)$.

Знаменатель $3f + k$ равен выражению $k+3f$ из-за коммутативного свойства сложения.

Теперь дробь можно переписать в следующем виде:

$\frac{5k + 15f}{3f + k} = \frac{5(k+3f)}{k+3f}$

Сократим дробь на общий множитель $(k+3f)$ (при условии, что $k+3f \neq 0$):

$\frac{5\cancel{(k+3f)}}{\cancel{k+3f}} = 5$

Ответ: $5$

4)

Рассмотрим дробь $\frac{3a - 6b}{12b - 6a}$.

В числителе $3a - 6b$ вынесем за скобки общий множитель $3$: $3a - 6b = 3(a-2b)$.

В знаменателе $12b - 6a$ вынесем за скобки общий множитель $6$: $12b - 6a = 6(2b-a)$.

Подставим разложенные выражения в дробь:

$\frac{3(a-2b)}{6(2b-a)}$

Обратим внимание, что выражения в скобках $(a-2b)$ и $(2b-a)$ являются противоположными, то есть $2b-a = -(a-2b)$. Заменим выражение в знаменателе:

$\frac{3(a-2b)}{6(-(a-2b))} = \frac{3(a-2b)}{-6(a-2b)}$

Теперь сократим дробь на общий множитель $(a-2b)$ и на общий делитель числовых коэффициентов $3$:

$\frac{\cancel{3}\cancel{(a-2b)}}{-\cancel{6}_2\cancel{(a-2b)}} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$

5)

Рассмотрим дробь $\frac{2m - 4n}{16n - 8m}$.

В числителе $2m - 4n$ вынесем за скобки общий множитель $2$: $2m - 4n = 2(m-2n)$.

В знаменателе $16n - 8m$ вынесем за скобки общий множитель $8$: $16n - 8m = 8(2n-m)$.

Подставим разложенные выражения в дробь:

$\frac{2(m-2n)}{8(2n-m)}$

Выражения в скобках $(m-2n)$ и $(2n-m)$ являются противоположными, то есть $2n-m = -(m-2n)$. Заменим выражение в знаменателе:

$\frac{2(m-2n)}{8(-(m-2n))} = \frac{2(m-2n)}{-8(m-2n)}$

Сократим дробь на общий множитель $(m-2n)$ и на общий делитель числовых коэффициентов $2$:

$\frac{\cancel{2}\cancel{(m-2n)}}{-\cancel{8}_4\cancel{(m-2n)}} = -\frac{1}{4}$

Ответ: $-\frac{1}{4}$