Страница 10 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Разложить на множители числитель и знаменатель дроби и сократить её (12–20).

12. 1) $ \frac{3x+3y}{6c} $

2) $ \frac{8a}{4m-4n} $

3) $ \frac{12a-3}{6a+9} $

4) $ \frac{ac-bc}{ac+bc} $

5) $ \frac{a+ab}{a-ab} $

1)

Дана дробь $\frac{3x + 3y}{6c}$.

Для того чтобы сократить дробь, нужно разложить её числитель и знаменатель на множители.

В числителе вынесем общий множитель 3 за скобки: $3x + 3y = 3(x+y)$.

Знаменатель $6c$ можно представить как произведение $2 \cdot 3 \cdot c$.

Теперь наша дробь выглядит так: $\frac{3(x+y)}{2 \cdot 3 \cdot c}$.

Сократим общий множитель 3 в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{3}(x+y)}{2 \cdot \cancel{3} \cdot c} = \frac{x+y}{2c}$.

Ответ: $\frac{x+y}{2c}$.

2)

Дана дробь $\frac{8a}{4m - 4n}$.

Числитель $8a$ является одночленом, его можно оставить без изменений или представить как $2 \cdot 4a$.

В знаменателе вынесем общий множитель 4 за скобки: $4m - 4n = 4(m - n)$.

Подставим разложенный знаменатель в дробь: $\frac{8a}{4(m - n)}$.

Сократим дробь на общий множитель 4:

$\frac{8a}{4(m - n)} = \frac{2 \cdot \cancel{4} \cdot a}{\cancel{4}(m - n)} = \frac{2a}{m-n}$.

Ответ: $\frac{2a}{m-n}$.

3)

Дана дробь $\frac{12a - 3}{6a + 9}$.

В числителе вынесем общий множитель 3 за скобки: $12a - 3 = 3(4a - 1)$.

В знаменателе вынесем общий множитель 3 за скобки: $6a + 9 = 3(2a + 3)$.

Получим дробь: $\frac{3(4a - 1)}{3(2a + 3)}$.

Сократим общий множитель 3:

$\frac{\cancel{3}(4a - 1)}{\cancel{3}(2a + 3)} = \frac{4a - 1}{2a + 3}$.

Ответ: $\frac{4a - 1}{2a + 3}$.

4)

Дана дробь $\frac{ac - bc}{ac + bc}$.

В числителе вынесем общий множитель $c$ за скобки: $ac - bc = c(a - b)$.

В знаменателе вынесем общий множитель $c$ за скобки: $ac + bc = c(a + b)$.

Подставим полученные выражения в дробь: $\frac{c(a - b)}{c(a + b)}$.

Сократим дробь на общий множитель $c$ (при условии, что $c \neq 0$):

$\frac{\cancel{c}(a - b)}{\cancel{c}(a + b)} = \frac{a-b}{a+b}$.

Ответ: $\frac{a-b}{a+b}$.

5)

Дана дробь $\frac{a + ab}{a - ab}$.

В числителе вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a + ab = a(1 + b)$.

В знаменателе вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a - ab = a(1 - b)$.

Дробь примет вид: $\frac{a(1 + b)}{a(1 - b)}$.

Сократим дробь на общий множитель $a$ (при условии, что $a \neq 0$):

$\frac{\cancel{a}(1 + b)}{\cancel{a}(1 - b)} = \frac{1+b}{1-b}$.

Ответ: $\frac{1+b}{1-b}$.

13. 1) $\frac{a^2}{a^2+ab}$;

2) $\frac{pq^3}{p^2q-pq^2}$;

3) $\frac{5k+15f}{3f+k}$;

4) $\frac{3a-6b}{12b-6a}$;

5) $\frac{2m-4n}{16n-8m}$.

1)

Рассмотрим дробь $\frac{a^2}{a^2 + ab}$. Чтобы сократить эту алгебраическую дробь, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

Числитель $a^2$ можно представить как произведение $a \cdot a$.

В знаменателе $a^2 + ab$ есть общий множитель $a$, который можно вынести за скобки: $a^2 + ab = a(a+b)$.

Теперь подставим разложенные на множители выражения обратно в дробь:

$\frac{a^2}{a^2 + ab} = \frac{a \cdot a}{a(a+b)}$

Сократим общий множитель $a$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a \neq 0$):

$\frac{\cancel{a} \cdot a}{\cancel{a}(a+b)} = \frac{a}{a+b}$

Ответ: $\frac{a}{a+b}$

2)

Рассмотрим дробь $\frac{pq^3}{p^2q - pq^2}$. Для ее сокращения разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель $pq^3$ можно записать как $pq \cdot q^2$.

В знаменателе $p^2q - pq^2$ вынесем за скобки общий множитель $pq$: $p^2q - pq^2 = pq(p-q)$.

Подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{pq^3}{p^2q - pq^2} = \frac{pq \cdot q^2}{pq(p-q)}$

Сократим дробь на общий множитель $pq$ (при условии, что $p \neq 0$ и $q \neq 0$):

$\frac{\cancel{pq} \cdot q^2}{\cancel{pq}(p-q)} = \frac{q^2}{p-q}$

Ответ: $\frac{q^2}{p-q}$

3)

Рассмотрим дробь $\frac{5k + 15f}{3f + k}$.

В числителе $5k + 15f$ вынесем за скобки общий множитель $5$: $5k + 15f = 5(k+3f)$.

Знаменатель $3f + k$ равен выражению $k+3f$ из-за коммутативного свойства сложения.

Теперь дробь можно переписать в следующем виде:

$\frac{5k + 15f}{3f + k} = \frac{5(k+3f)}{k+3f}$

Сократим дробь на общий множитель $(k+3f)$ (при условии, что $k+3f \neq 0$):

$\frac{5\cancel{(k+3f)}}{\cancel{k+3f}} = 5$

Ответ: $5$

4)

Рассмотрим дробь $\frac{3a - 6b}{12b - 6a}$.

В числителе $3a - 6b$ вынесем за скобки общий множитель $3$: $3a - 6b = 3(a-2b)$.

В знаменателе $12b - 6a$ вынесем за скобки общий множитель $6$: $12b - 6a = 6(2b-a)$.

Подставим разложенные выражения в дробь:

$\frac{3(a-2b)}{6(2b-a)}$

Обратим внимание, что выражения в скобках $(a-2b)$ и $(2b-a)$ являются противоположными, то есть $2b-a = -(a-2b)$. Заменим выражение в знаменателе:

$\frac{3(a-2b)}{6(-(a-2b))} = \frac{3(a-2b)}{-6(a-2b)}$

Теперь сократим дробь на общий множитель $(a-2b)$ и на общий делитель числовых коэффициентов $3$:

$\frac{\cancel{3}\cancel{(a-2b)}}{-\cancel{6}_2\cancel{(a-2b)}} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$

5)

Рассмотрим дробь $\frac{2m - 4n}{16n - 8m}$.

В числителе $2m - 4n$ вынесем за скобки общий множитель $2$: $2m - 4n = 2(m-2n)$.

В знаменателе $16n - 8m$ вынесем за скобки общий множитель $8$: $16n - 8m = 8(2n-m)$.

Подставим разложенные выражения в дробь:

$\frac{2(m-2n)}{8(2n-m)}$

Выражения в скобках $(m-2n)$ и $(2n-m)$ являются противоположными, то есть $2n-m = -(m-2n)$. Заменим выражение в знаменателе:

$\frac{2(m-2n)}{8(-(m-2n))} = \frac{2(m-2n)}{-8(m-2n)}$

Сократим дробь на общий множитель $(m-2n)$ и на общий делитель числовых коэффициентов $2$:

$\frac{\cancel{2}\cancel{(m-2n)}}{-\cancel{8}_4\cancel{(m-2n)}} = -\frac{1}{4}$

Ответ: $-\frac{1}{4}$

14. 1) $\frac{12x^2 - 30xy}{30x^2 - 12xy}$,

2) $\frac{36a^2 + 24ab}{24a^2 + 36ab}$;

3) $\frac{m^3 - 3m^2n}{3m^2n - 3m^3}$;

4) $\frac{a^3 - 2a^2b}{2a^3b^2 - a^4b}$.

1) Для того чтобы сократить дробь $\frac{12x^2-30xy}{30x^2-12xy}$, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители, вынеся за скобки общие множители.
В числителе $12x^2-30xy$ общим множителем является $6x$. Вынесем его за скобки:
$12x^2-30xy = 6x(2x-5y)$.
В знаменателе $30x^2-12xy$ общим множителем также является $6x$. Вынесем его за скобки:
$30x^2-12xy = 6x(5x-2y)$.
Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь и сократим общий множитель $6x$:
$\frac{12x^2-30xy}{30x^2-12xy} = \frac{6x(2x-5y)}{6x(5x-2y)} = \frac{2x-5y}{5x-2y}$.
Ответ: $\frac{2x-5y}{5x-2y}$

2) Сократим дробь $\frac{36a^2+24ab}{24a^2+36ab}$. Для этого найдем и вынесем общие множители в числителе и знаменателе.
В числителе $36a^2+24ab$ общий множитель равен $12a$:
$36a^2+24ab = 12a(3a+2b)$.
В знаменателе $24a^2+36ab$ общий множитель также равен $12a$:
$24a^2+36ab = 12a(2a+3b)$.
Подставим полученные выражения в дробь и сократим на $12a$:
$\frac{36a^2+24ab}{24a^2+36ab} = \frac{12a(3a+2b)}{12a(2a+3b)} = \frac{3a+2b}{2a+3b}$.
Ответ: $\frac{3a+2b}{2a+3b}$

3) Сократим дробь $\frac{m^3-3m^2n}{3m^2n-3m^3}$. Разложим числитель и знаменатель на множители.
В числителе $m^3-3m^2n$ вынесем за скобки общий множитель $m^2$:
$m^3-3m^2n = m^2(m-3n)$.
В знаменателе $3m^2n-3m^3$ вынесем за скобки общий множитель $3m^2$:
$3m^2n-3m^3 = 3m^2(n-m)$.
Подставим разложения в дробь и сократим на общий множитель $m^2$:
$\frac{m^3-3m^2n}{3m^2n-3m^3} = \frac{m^2(m-3n)}{3m^2(n-m)} = \frac{m-3n}{3(n-m)}$.
Ответ: $\frac{m-3n}{3(n-m)}$

4) Сократим дробь $\frac{a^3-2a^2b}{2a^3b^2-a^4b}$. Для этого разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе $a^3-2a^2b$ вынесем за скобки общий множитель $a^2$:
$a^3-2a^2b = a^2(a-2b)$.
В знаменателе $2a^3b^2-a^4b$ вынесем за скобки общий множитель $a^3b$:
$2a^3b^2-a^4b = a^3b(2b-a)$.
Заметим, что выражения в скобках $(a-2b)$ и $(2b-a)$ являются противоположными, то есть $(2b-a) = -(a-2b)$.
Подставим это соотношение в дробь и выполним сокращение:
$\frac{a^3-2a^2b}{2a^3b^2-a^4b} = \frac{a^2(a-2b)}{a^3b(2b-a)} = \frac{a^2(a-2b)}{-a^3b(a-2b)} = \frac{a^2}{-a^3b}$.
Теперь сократим степени переменной $a$:
$\frac{a^2}{-a^3b} = -\frac{a^2}{a^3b} = -\frac{1}{ab}$.
Ответ: $-\frac{1}{ab}$

15. 1) $\frac{a^2 - b^2}{a + b}$;

2) $\frac{a - b}{a^2 - b^2}$;

3) $\frac{4c^2 - 9x^2}{2c - 3x}$;

4) $\frac{25 - x^2}{5 - x}$.

1) Для упрощения дроби $\frac{a^2 - b^2}{a + b}$ воспользуемся формулой разности квадратов в числителе: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Подставим разложенное выражение в числитель дроби:

$\frac{(a - b)(a + b)}{a + b}$

Сократим общий множитель $(a + b)$ в числителе и знаменателе, при условии, что $a + b \neq 0$.

В результате получаем:

$a - b$

Ответ: $a - b$

2) Рассмотрим дробь $\frac{a - b}{a^2 - b^2}$. В этом случае мы можем разложить на множители знаменатель, используя формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Дробь примет вид:

$\frac{a - b}{(a - b)(a + b)}$

Сократим общий множитель $(a - b)$ в числителе и знаменателе, при условии, что $a - b \neq 0$.

В результате получаем:

$\frac{1}{a + b}$

Ответ: $\frac{1}{a + b}$

3) Упростим выражение $\frac{4c^2 - 9x^2}{2c - 3x}$. Числитель представляет собой разность квадратов, так как $4c^2 = (2c)^2$ и $9x^2 = (3x)^2$.

Применим формулу разности квадратов: $4c^2 - 9x^2 = (2c - 3x)(2c + 3x)$.

Подставим это в исходную дробь:

$\frac{(2c - 3x)(2c + 3x)}{2c - 3x}$

Сократим дробь на общий множитель $(2c - 3x)$, при условии, что $2c - 3x \neq 0$.

В результате получаем:

$2c + 3x$

Ответ: $2c + 3x$

4) Упростим дробь $\frac{25 - x^2}{5 - x}$. Числитель $25 - x^2$ можно представить как разность квадратов: $5^2 - x^2$.

Используя формулу разности квадратов, разложим числитель на множители: $25 - x^2 = (5 - x)(5 + x)$.

Теперь дробь выглядит так:

$\frac{(5 - x)(5 + x)}{5 - x}$

Сокращаем общий множитель $(5 - x)$ в числителе и знаменателе, при условии, что $5 - x \neq 0$.

В результате получаем:

$5 + x$

Ответ: $5 + x$

16. 1) $\frac{8-3a}{9a^2-64}$;

2) $\frac{100-49b^2}{7b+10}$;

3) $\frac{5y-y^2}{25-y^2}$;

4) $\frac{b^2-c^2}{b^{4n}-c^{4n}}$;

5) $\frac{5a^3b+5ab^3}{a^4-b^4}$.

1) Для того чтобы сократить дробь $\frac{8-3a}{9a^2-64}$, разложим знаменатель на множители, используя формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$.
Знаменатель: $9a^2-64 = (3a)^2 - 8^2 = (3a-8)(3a+8)$.
В числителе вынесем минус за скобки, чтобы получить множитель, совпадающий с одним из множителей знаменателя: $8-3a = -(3a-8)$.
Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь: $\frac{-(3a-8)}{(3a-8)(3a+8)}$
Сократим общий множитель $(3a-8)$: $\frac{-1}{3a+8} = -\frac{1}{3a+8}$
Ответ: $-\frac{1}{3a+8}$

2) Для сокращения дроби $\frac{100-49b^2}{7b+10}$ разложим числитель на множители по формуле разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$.
Числитель: $100-49b^2 = 10^2 - (7b)^2 = (10-7b)(10+7b)$.
Знаменатель $7b+10$ можно записать как $10+7b$.
Подставим разложенное выражение в дробь: $\frac{(10-7b)(10+7b)}{10+7b}$
Сократим общий множитель $(10+7b)$: $10-7b$
Ответ: $10-7b$

3) Чтобы сократить дробь $\frac{5y-y^2}{25-y^2}$, разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе вынесем общий множитель $y$ за скобки: $5y-y^2 = y(5-y)$.
Знаменатель разложим по формуле разности квадратов: $25-y^2 = 5^2 - y^2 = (5-y)(5+y)$.
Подставим полученные выражения в дробь: $\frac{y(5-y)}{(5-y)(5+y)}$
Сократим общий множитель $(5-y)$: $\frac{y}{5+y}$
Ответ: $\frac{y}{5+y}$

4) Сократим дробь $\frac{b^2-c^2}{b^{4n}-c^{4n}}$. Предположим, что в условии опечатка и имеется в виду дробь $\frac{b^2-c^2}{b^4-c^4}$, что соответствует уровню сложности остальных заданий. Разложим знаменатель на множители.
Знаменатель $b^4-c^4$ является разностью квадратов: $b^4-c^4 = (b^2)^2 - (c^2)^2 = (b^2-c^2)(b^2+c^2)$.
Подставим разложение в исходную дробь: $\frac{b^2-c^2}{(b^2-c^2)(b^2+c^2)}$
Сократим общий множитель $(b^2-c^2)$: $\frac{1}{b^2+c^2}$
Ответ: $\frac{1}{b^2+c^2}$

5) Чтобы сократить дробь $\frac{5a^3b+5ab^3}{a^4-b^4}$, разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе вынесем за скобки общий множитель $5ab$: $5a^3b+5ab^3 = 5ab(a^2+b^2)$.
Знаменатель разложим по формуле разности квадратов: $a^4-b^4 = (a^2)^2 - (b^2)^2 = (a^2-b^2)(a^2+b^2)$.
Подставим полученные выражения в дробь: $\frac{5ab(a^2+b^2)}{(a^2-b^2)(a^2+b^2)}$
Сократим общий множитель $(a^2+b^2)$: $\frac{5ab}{a^2-b^2}$
Ответ: $\frac{5ab}{a^2-b^2}$

17. 1) $\frac{d^2 - 6d + 9}{d - 3}$;

2) $\frac{b + 7}{b^2 + 14b + 49}$;

3) $\frac{9 - 6a + a^2}{3 - a}$;

4) $\frac{1 - 2p}{1 - 4p + 4p^2}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{d^2 - 6d + 9}{d - 3}$, необходимо разложить числитель на множители.

Числитель $d^2 - 6d + 9$ является полным квадратом разности, который можно свернуть по формуле сокращенного умножения $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a=d$ и $b=3$. Проверим: $d^2 - 2 \cdot d \cdot 3 + 3^2 = d^2 - 6d + 9$.

Следовательно, $d^2 - 6d + 9 = (d-3)^2$.

Подставим полученное выражение обратно в дробь:
$\frac{(d-3)^2}{d-3}$

Теперь сократим дробь на общий множитель $(d-3)$, при условии, что $d-3 \neq 0$, то есть $d \neq 3$.
$\frac{(d-3)^2}{d-3} = \frac{(d-3)(d-3)}{d-3} = d-3$.

Ответ: $d-3$.

2) Чтобы сократить дробь $\frac{b+7}{b^2 + 14b + 49}$, разложим на множители ее знаменатель.

Знаменатель $b^2 + 14b + 49$ является полным квадратом суммы. Воспользуемся формулой $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В данном случае $a=b$ и $b=7$. Проверим: $b^2 + 2 \cdot b \cdot 7 + 7^2 = b^2 + 14b + 49$.

Таким образом, $b^2 + 14b + 49 = (b+7)^2$.

Подставим это выражение в знаменатель дроби:
$\frac{b+7}{(b+7)^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(b+7)$, при условии, что $b+7 \neq 0$, то есть $b \neq -7$.
$\frac{b+7}{(b+7)^2} = \frac{b+7}{(b+7)(b+7)} = \frac{1}{b+7}$.

Ответ: $\frac{1}{b+7}$.

3) Чтобы сократить дробь $\frac{9 - 6a + a^2}{3 - a}$, разложим на множители числитель.

Перепишем числитель $9 - 6a + a^2$ в более привычном виде: $a^2 - 6a + 9$.

Данное выражение является полным квадратом разности по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Здесь $x=a$ и $y=3$, значит $a^2 - 6a + 9 = (a-3)^2$.

Подставим результат в исходную дробь:
$\frac{(a-3)^2}{3 - a}$

Заметим, что выражения $(a-3)$ и $(3-a)$ являются противоположными, то есть $a-3 = -(3-a)$.
Поэтому дробь можно переписать так:
$\frac{(a-3)^2}{-(a-3)} = -(a-3) = 3-a$.

Сокращение возможно при условии, что $3-a \neq 0$, то есть $a \neq 3$.

Ответ: $3-a$.

4) Чтобы сократить дробь $\frac{1-2p}{1-4p+4p^2}$, разложим на множители знаменатель.

Перепишем знаменатель $1-4p+4p^2$ в стандартном виде: $4p^2 - 4p + 1$.

Это выражение является полным квадратом разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a=2p$ и $b=1$. Проверим: $(2p)^2 - 2 \cdot 2p \cdot 1 + 1^2 = 4p^2 - 4p + 1$.

Следовательно, $1-4p+4p^2 = (2p-1)^2$.

Подставим это в нашу дробь:
$\frac{1-2p}{(2p-1)^2}$

Числитель $1-2p$ и основание степени в знаменателе $2p-1$ связаны соотношением: $1-2p = -(2p-1)$.
Перепишем дробь:
$\frac{-(2p-1)}{(2p-1)^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(2p-1)$, при условии, что $2p-1 \neq 0$, то есть $p \neq \frac{1}{2}$.
$\frac{-(2p-1)}{(2p-1)^2} = \frac{-1}{2p-1}$.

Можно представить ответ в другом виде, умножив числитель и знаменатель на $-1$:
$\frac{-1 \cdot (-1)}{(2p-1) \cdot (-1)} = \frac{1}{-2p+1} = \frac{1}{1-2p}$.

Ответ: $\frac{1}{1-2p}$.

18. 1) $\frac{1-a^2}{(a-1)^2}$;

2) $\frac{(m-n)^2}{n-m}$;

3) $\frac{4y^2-4y+1}{2-4y}$;

4) $\frac{5-2x}{4x^2-20x+25}$.

1) Для упрощения дроби $\frac{1-a^2}{(a-1)^2}$ разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $1-a^2$ является разностью квадратов: $1-a^2 = (1-a)(1+a)$.
Знаменатель $(a-1)^2$ можно представить как $(a-1)(a-1)$. Также заметим, что $(a-1)^2 = (-(1-a))^2 = (1-a)^2$.
Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{(1-a)(1+a)}{(a-1)^2} = \frac{(1-a)(1+a)}{(1-a)^2}$
Сократим общий множитель $(1-a)$:
$\frac{1+a}{1-a}$
Ответ: $\frac{1+a}{1-a}$

2) Для упрощения дроби $\frac{(m-n)^2}{n-m}$ заметим, что выражения в числителе и знаменателе отличаются только знаком.
Вынесем $-1$ за скобки в знаменателе: $n-m = -(m-n)$.
Подставим это в дробь:
$\frac{(m-n)^2}{-(m-n)}$
Сократим общий множитель $(m-n)$:
$\frac{m-n}{-1} = -(m-n) = n-m$
Ответ: $n-m$

3) Для упрощения дроби $\frac{4y^2-4y+1}{2-4y}$ разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель $4y^2-4y+1$ является полным квадратом разности по формуле $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$, где $a=2y$ и $b=1$.
$4y^2-4y+1 = (2y-1)^2$.
В знаменателе $2-4y$ вынесем общий множитель $2$ за скобки: $2-4y = 2(1-2y)$.
Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{(2y-1)^2}{2(1-2y)}$
Заметим, что $1-2y = -(2y-1)$.
$\frac{(2y-1)^2}{2(-(2y-1))} = \frac{(2y-1)^2}{-2(2y-1)}$
Сократим общий множитель $(2y-1)$:
$\frac{2y-1}{-2} = -\frac{2y-1}{2} = \frac{1-2y}{2}$
Ответ: $\frac{1-2y}{2}$

4) Для упрощения дроби $\frac{5-2x}{4x^2-20x+25}$ разложим знаменатель на множители.
Знаменатель $4x^2-20x+25$ является полным квадратом разности по формуле $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$, где $a=2x$ и $b=5$.
$4x^2-20x+25 = (2x-5)^2$.
Подставим разложенное выражение в дробь:
$\frac{5-2x}{(2x-5)^2}$
Заметим, что числитель $5-2x = -(2x-5)$.
$\frac{-(2x-5)}{(2x-5)^2}$
Сократим общий множитель $(2x-5)$:
$\frac{-1}{2x-5} = \frac{1}{-(2x-5)} = \frac{1}{5-2x}$
Ответ: $\frac{1}{5-2x}$

19. 1) $\frac{4y^2 - 4y + 1}{4y^2 - 1}$;

2) $\frac{16a^2 - 1}{16a^2 - 8a + 1}$;

3) $\frac{3a^2 - 6ab + 3b^2}{6a^2 - 6b^2}$;

4) $\frac{50m^2 + 100mn + 50n^2}{15m^2 - 15n^2}$.

1) Для того, чтобы сократить дробь $\frac{4y^2 - 4y + 1}{4y^2 - 1}$, разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель $4y^2 - 4y + 1$ является полным квадратом разности. Используем формулу квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем случае $a = 2y$ и $b = 1$. Проверим: $(2y - 1)^2 = (2y)^2 - 2 \cdot 2y \cdot 1 + 1^2 = 4y^2 - 4y + 1$.
Следовательно, числитель равен $(2y - 1)^2$.

Знаменатель $4y^2 - 1$ является разностью квадратов. Используем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
В нашем случае $a = 2y$ и $b = 1$.
Следовательно, знаменатель равен $(2y - 1)(2y + 1)$.

Подставим разложенные выражения в исходную дробь и сократим общий множитель $(2y - 1)$: $\frac{(2y - 1)^2}{(2y - 1)(2y + 1)} = \frac{(2y - 1)\cancel{(2y - 1)}}{\cancel{(2y - 1)}(2y + 1)} = \frac{2y - 1}{2y + 1}$.

Ответ: $\frac{2y - 1}{2y + 1}$

2) Сократим дробь $\frac{16a^2 - 1}{16a^2 - 8a + 1}$.

Числитель $16a^2 - 1$ — это разность квадратов. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = 4a$ и $y = 1$.
$16a^2 - 1 = (4a)^2 - 1^2 = (4a - 1)(4a + 1)$.

Знаменатель $16a^2 - 8a + 1$ — это полный квадрат разности. Применим формулу $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x = 4a$ и $y = 1$.
Проверим: $(4a - 1)^2 = (4a)^2 - 2 \cdot 4a \cdot 1 + 1^2 = 16a^2 - 8a + 1$.
Значит, знаменатель равен $(4a - 1)^2$.

Подставим полученные выражения в дробь и сократим общий множитель $(4a - 1)$: $\frac{(4a - 1)(4a + 1)}{(4a - 1)^2} = \frac{\cancel{(4a - 1)}(4a + 1)}{(4a - 1)\cancel{(4a - 1)}} = \frac{4a + 1}{4a - 1}$.

Ответ: $\frac{4a + 1}{4a - 1}$

3) Упростим выражение $\frac{3a^2 - 6ab + 3b^2}{6a^2 - 6b^2}$.

Сначала вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе.
В числителе $3a^2 - 6ab + 3b^2$ общий множитель равен 3: $3(a^2 - 2ab + b^2)$.
Выражение в скобках $a^2 - 2ab + b^2$ является квадратом разности $(a - b)^2$.
Таким образом, числитель равен $3(a - b)^2$.

В знаменателе $6a^2 - 6b^2$ общий множитель равен 6: $6(a^2 - b^2)$.
Выражение в скобках $a^2 - b^2$ является разностью квадратов $(a - b)(a + b)$.
Таким образом, знаменатель равен $6(a - b)(a + b)$.

Запишем дробь с разложенными на множители числителем и знаменателем и выполним сокращение:
$\frac{3(a - b)^2}{6(a - b)(a + b)} = \frac{3(a - b)\cancel{(a - b)}}{6\cancel{(a - b)}(a + b)} = \frac{3(a - b)}{6(a + b)}$.
Сократим числовой коэффициент $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
$\frac{1(a-b)}{2(a+b)} = \frac{a-b}{2(a+b)}$.

Ответ: $\frac{a - b}{2(a + b)}$

4) Упростим выражение $\frac{50m^2 + 100mn + 50n^2}{15m^2 - 15n^2}$.

Вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе.
В числителе $50m^2 + 100mn + 50n^2$ общий множитель равен 50: $50(m^2 + 2mn + n^2)$.
Выражение в скобках $m^2 + 2mn + n^2$ является квадратом суммы $(m + n)^2$.
Следовательно, числитель равен $50(m + n)^2$.

В знаменателе $15m^2 - 15n^2$ общий множитель равен 15: $15(m^2 - n^2)$.
Выражение в скобках $m^2 - n^2$ является разностью квадратов $(m - n)(m + n)$.
Следовательно, знаменатель равен $15(m - n)(m + n)$.

Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{50(m + n)^2}{15(m - n)(m + n)}$.
Сократим числовые коэффициенты: $\frac{50}{15} = \frac{10 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{3}$.
Сократим общий множитель $(m+n)$: $\frac{50(m+n)\cancel{(m+n)}}{15(m-n)\cancel{(m+n)}} = \frac{50(m+n)}{15(m-n)} = \frac{10(m+n)}{3(m-n)}$.

Ответ: $\frac{10(m + n)}{3(m - n)}$

20. 1) $ \frac{ax - ay + bx - by}{a + b} $

2) $ \frac{2a + 2b + ax + bx}{2 + x} $

3) $ \frac{2x^2 - 2xy - x + y}{4x^2 - 1} $

4) $ \frac{x^2 - y^2}{3x - 2x^2 + 3y - 2xy} $

1) Чтобы упростить данное выражение, разложим на множители числитель дроби методом группировки.

Исходное выражение: $ \frac{ax - ay + bx - by}{a + b} $

Сгруппируем слагаемые в числителе: $ (ax - ay) + (bx - by) $. Вынесем общие множители за скобки в каждой группе: $ a(x - y) + b(x - y) $.

Теперь вынесем общий множитель $ (x - y) $ за скобки: $ (x - y)(a + b) $.

Подставим полученное выражение в числитель и сократим дробь:

$ \frac{(x - y)(a + b)}{a + b} = x - y $

Ответ: $x - y$

2) Упростим выражение, разложив числитель на множители методом группировки.

Исходное выражение: $ \frac{2a + 2b + ax + bx}{2 + x} $

Сгруппируем слагаемые в числителе: $ (2a + 2b) + (ax + bx) $. Вынесем общие множители за скобки в каждой группе: $ 2(a + b) + x(a + b) $.

Теперь вынесем общий множитель $ (a + b) $ за скобки: $ (a + b)(2 + x) $.

Подставим полученное выражение в числитель и сократим дробь:

$ \frac{(a + b)(2 + x)}{2 + x} = a + b $

Ответ: $a + b$

3) Для упрощения дроби необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

Исходное выражение: $ \frac{2x^2 - 2xy - x + y}{4x^2 - 1} $

Разложим числитель на множители методом группировки: $ (2x^2 - 2xy) - (x - y) = 2x(x - y) - 1(x - y) = (x - y)(2x - 1) $.

Разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $: $ 4x^2 - 1 = (2x)^2 - 1^2 = (2x - 1)(2x + 1) $.

Подставим полученные выражения в дробь и сократим:

$ \frac{(x - y)(2x - 1)}{(2x - 1)(2x + 1)} = \frac{x - y}{2x + 1} $

Ответ: $\frac{x - y}{2x + 1}$

4) Упростим выражение, разложив на множители числитель и знаменатель.

Исходное выражение: $ \frac{x^2 - y^2}{3x - 2x^2 + 3y - 2xy} $

Разложим числитель по формуле разности квадратов: $ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) $.

Разложим знаменатель на множители методом группировки. Сначала перегруппируем слагаемые: $ (3x + 3y) - (2x^2 + 2xy) $. Вынесем общие множители из каждой группы: $ 3(x + y) - 2x(x + y) $. Теперь вынесем общий множитель $ (x + y) $: $ (x + y)(3 - 2x) $.

Подставим полученные выражения в дробь и сократим:

$ \frac{(x - y)(x + y)}{(x + y)(3 - 2x)} = \frac{x - y}{3 - 2x} $

Ответ: $\frac{x - y}{3 - 2x}$

21. Упростить:

1) $ \frac{a^2b - ab^2}{a^2 - ab} $

2) $ \frac{2a^2 - 4a}{4a - 8} $

3) $ \frac{2x^3y + 2xy^3}{x^2 + y^2} $

4) $ \frac{x^4y^2 - x^2y^4}{x^2(x + y)} $

1) Чтобы упростить выражение $ \frac{a^2b - ab^2}{a^2 - ab} $, разложим на множители числитель и знаменатель дроби. В числителе вынесем за скобки общий множитель $ab$:
$ a^2b - ab^2 = ab(a - b) $
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $a$:
$ a^2 - ab = a(a - b) $
Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:
$ \frac{ab(a - b)}{a(a - b)} $
Сократим дробь на общие множители $a$ и $(a - b)$ (при условии, что $a \neq 0$ и $a \neq b$).
В результате получаем $b$.
Ответ: $b$

2) Чтобы упростить выражение $ \frac{2a^2 - 4a}{4a - 8} $, разложим на множители числитель и знаменатель. В числителе вынесем за скобки общий множитель $2a$:
$ 2a^2 - 4a = 2a(a - 2) $
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $4$:
$ 4a - 8 = 4(a - 2) $
Подставим полученные выражения в дробь:
$ \frac{2a(a - 2)}{4(a - 2)} $
Сократим дробь на общий множитель $(a - 2)$ (при условии, что $a \neq 2$).
$ \frac{2a}{4} $
Далее сократим числовые коэффициенты:
$ \frac{a}{2} $
Ответ: $\frac{a}{2}$

3) Чтобы упростить выражение $ \frac{2x^3y + 2xy^3}{x^2 + y^2} $, разложим числитель на множители. Вынесем за скобки общий множитель $2xy$:
$ 2x^3y + 2xy^3 = 2xy(x^2 + y^2) $
Знаменатель $x^2 + y^2$ (сумма квадратов) на множители не раскладывается в действительных числах.
Запишем дробь в новом виде:
$ \frac{2xy(x^2 + y^2)}{x^2 + y^2} $
Сократим дробь на общий множитель $(x^2 + y^2)$ (при условии, что $x$ и $y$ не равны нулю одновременно).
В результате получаем $2xy$.
Ответ: $2xy$

4) Чтобы упростить выражение $ \frac{x^4y^2 - x^2y^4}{x^2(x + y)} $, разложим числитель на множители. Вынесем за скобки общий множитель $x^2y^2$:
$ x^4y^2 - x^2y^4 = x^2y^2(x^2 - y^2) $
Выражение в скобках $x^2 - y^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) $
Таким образом, числитель полностью разложен на множители: $x^2y^2(x - y)(x + y)$.
Подставим его в дробь:
$ \frac{x^2y^2(x - y)(x + y)}{x^2(x + y)} $
Сократим дробь на общие множители $x^2$ и $(x + y)$ (при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq -y$).
В результате получаем $y^2(x-y)$.
Ответ: $y^2(x-y)$

22. 1) $\frac{9c^2 - 16}{16 - 24c + 9c^2}$ при $c = \frac{7}{9}$;

2) $\frac{4x^2 - 4xy + y^2}{y^2 - 4x^2}$ при $x = -0,2, y = 0,1$.

1) Сначала упростим выражение $\frac{9c^2 - 16}{16 - 24c + 9c^2}$.

Числитель представляет собой разность квадратов: $9c^2 - 16 = (3c)^2 - 4^2 = (3c - 4)(3c + 4)$.

Знаменатель является полным квадратом. Перепишем его в стандартном виде: $9c^2 - 24c + 16$. Это соответствует формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=3c$ и $b=4$.
Таким образом, $9c^2 - 24c + 16 = (3c - 4)^2$.

Подставим разложенные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$\frac{(3c - 4)(3c + 4)}{(3c - 4)^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(3c - 4)$, при условии что $3c - 4 \neq 0$. При $c=\frac{7}{9}$, $3 \cdot \frac{7}{9} - 4 = \frac{7}{3} - 4 = \frac{7-12}{3} = -\frac{5}{3} \neq 0$.

$\frac{(3c - 4)(3c + 4)}{(3c - 4)^2} = \frac{3c + 4}{3c - 4}$

Теперь подставим значение $c = \frac{7}{9}$ в упрощенное выражение:

$\frac{3 \cdot \frac{7}{9} + 4}{3 \cdot \frac{7}{9} - 4} = \frac{\frac{7}{3} + 4}{\frac{7}{3} - 4} = \frac{\frac{7}{3} + \frac{12}{3}}{\frac{7}{3} - \frac{12}{3}} = \frac{\frac{19}{3}}{-\frac{5}{3}} = \frac{19}{3} \cdot (-\frac{3}{5}) = -\frac{19}{5} = -3,8$

Ответ: -3,8

2) Сначала упростим выражение $\frac{4x^2 - 4xy + y^2}{y^2 - 4x^2}$.

Числитель $4x^2 - 4xy + y^2$ является полным квадратом. Это соответствует формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a=2x$ и $b=y$.
Таким образом, $4x^2 - 4xy + y^2 = (2x - y)^2$.

Знаменатель $y^2 - 4x^2$ представляет собой разность квадратов: $y^2 - (2x)^2 = (y - 2x)(y + 2x)$.

Подставим разложенные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$\frac{(2x - y)^2}{(y - 2x)(y + 2x)}$

Заметим, что $(2x - y)^2 = (-(y - 2x))^2 = (y - 2x)^2$. Перепишем выражение:

$\frac{(y - 2x)^2}{(y - 2x)(y + 2x)}$

Сократим дробь на общий множитель $(y - 2x)$, при условии что $y-2x \neq 0$. При $x=-0,2$ и $y=0,1$, $0,1 - 2(-0,2) = 0,1 + 0,4 = 0,5 \neq 0$.

$\frac{y - 2x}{y + 2x}$

Теперь подставим значения $x = -0,2$ и $y = 0,1$ в упрощенное выражение:

$\frac{0,1 - 2(-0,2)}{0,1 + 2(-0,2)} = \frac{0,1 + 0,4}{0,1 - 0,4} = \frac{0,5}{-0,3} = -\frac{5}{3}$

Ответ: $-\frac{5}{3}$

23. 1) $\frac{3a^3 + ab^2 - 6a^2b - 2b^3}{9a^5 - ab^4 - 18a^4b + 2b^5}$ при $a=0,2, b=0,4;$

2) $\frac{3ac^2 + 3bc^2 - 3ab^2 - 3b^3}{6ac^2 + 6bc^2 - 6ab^2 - 6b^3}$ при $a=4,49, b=-5,1, c=0,68.$

1) Упростим исходное выражение, разложив на множители числитель и знаменатель дроби.

Разложим на множители числитель $3a^3 + ab^2 - 6a^2b - 2b^3$. Сгруппируем слагаемые:

$(3a^3 - 6a^2b) + (ab^2 - 2b^3) = 3a^2(a - 2b) + b^2(a - 2b) = (3a^2 + b^2)(a - 2b)$

Разложим на множители знаменатель $9a^5 - ab^4 - 18a^4b + 2b^5$. Сгруппируем слагаемые:

$(9a^5 - 18a^4b) - (ab^4 - 2b^5) = 9a^4(a - 2b) - b^4(a - 2b) = (9a^4 - b^4)(a - 2b)$

Применим к выражению $9a^4 - b^4$ формулу разности квадратов:

$(3a^2)^2 - (b^2)^2 = (3a^2 - b^2)(3a^2 + b^2)$

Таким образом, знаменатель равен $(3a^2 - b^2)(3a^2 + b^2)(a - 2b)$.

Теперь запишем исходную дробь в новом виде и сократим ее:

$\frac{(3a^2 + b^2)(a - 2b)}{(3a^2 - b^2)(3a^2 + b^2)(a - 2b)} = \frac{1}{3a^2 - b^2}$

Сокращение возможно при условии, что $a - 2b \neq 0$ и $3a^2 + b^2 \neq 0$. При $a = 0,2$ и $b = 0,4$:

$a - 2b = 0,2 - 2 \cdot 0,4 = 0,2 - 0,8 = -0,6 \neq 0$

$3a^2 + b^2 = 3 \cdot (0,2)^2 + (0,4)^2 = 3 \cdot 0,04 + 0,16 = 0,12 + 0,16 = 0,28 \neq 0$

Условия выполняются. Подставим значения $a=0,2$ и $b=0,4$ в упрощенное выражение:

$\frac{1}{3 \cdot (0,2)^2 - (0,4)^2} = \frac{1}{3 \cdot 0,04 - 0,16} = \frac{1}{0,12 - 0,16} = \frac{1}{-0,04} = -25$

Ответ: -25

2) Упростим исходное выражение, разложив на множители числитель и знаменатель.

Разложим на множители числитель $3ac^2 + 3bc^2 - 3ab^2 - 3b^3$. Вынесем общий множитель $3$ и сгруппируем слагаемые:

$3(ac^2 + bc^2 - ab^2 - b^3) = 3((ac^2 + bc^2) - (ab^2 + b^3)) = 3(c^2(a+b) - b^2(a+b)) = 3(a+b)(c^2-b^2)$

Разложим на множители знаменатель $6ac^2 + 6bc^2 - 6ab^2 - 6b^3$. Вынесем общий множитель $6$:

$6(ac^2 + bc^2 - ab^2 - b^3)$

Выражение в скобках идентично выражению в числителе, поэтому знаменатель равен $6(a+b)(c^2-b^2)$.

Запишем дробь в новом виде и сократим ее:

$\frac{3(a+b)(c^2-b^2)}{6(a+b)(c^2-b^2)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0,5$

Сокращение возможно при условии, что $a+b \neq 0$ и $c^2-b^2 \neq 0$. Проверим это для заданных значений $a = 4,49$, $b = -5,1$, $c = 0,68$:

$a+b = 4,49 + (-5,1) = -0,61 \neq 0$

$c^2-b^2 = (0,68)^2 - (-5,1)^2 = 0,4624 - 26,01 \neq 0$

Поскольку условия выполняются, значение выражения не зависит от переменных и равно $0,5$.

Ответ: 0,5