Страница 8 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Чем являются числитель и знаменатель алгебраической дроби?

1. Алгебраическая дробь представляет собой выражение вида $\frac{P}{Q}$, где $P$ — числитель дроби, а $Q$ — её знаменатель.

Согласно определению, числитель и знаменатель алгебраической дроби являются многочленами.

Многочлен — это алгебраическое выражение, представляющее собой сумму одночленов (произведений чисел, переменных и их степеней). Отдельное число, переменная или их произведение также являются многочленами.

Например:

• В дроби $\frac{x^2+3x-1}{x-5}$, числитель — это многочлен $x^2+3x-1$, а знаменатель — многочлен $x-5$.
• В дроби $\frac{a}{b+c}$, числитель — многочлен $a$, а знаменатель — многочлен $b+c$.
• В дроби $\frac{8}{y}$, числитель — многочлен $8$, а знаменатель — многочлен $y$.

Важнейшим условием для существования алгебраической дроби является то, что её знаменатель не должен быть равен нулю. То есть, многочлен $Q$ не должен принимать значение $0$ для рассматриваемых значений переменных.

Ответ: Числитель и знаменатель алгебраической дроби являются многочленами.

2. Что называют значением алгебраической дроби?

Алгебраическая дробь представляет собой выражение вида $\frac{A}{B}$, где $A$ (числитель) и $B$ (знаменатель) являются алгебраическими выражениями, содержащими числа и переменные.

Значением алгебраической дроби при определённых значениях входящих в неё переменных называют число, которое получается в результате подстановки этих числовых значений вместо переменных и выполнения всех указанных арифметических действий.

Важно отметить, что значение алгебраической дроби можно найти только для допустимых значений переменных. Допустимыми называются такие значения переменных, при которых знаменатель дроби не обращается в нуль. Если при подстановке значений переменных знаменатель становится равным нулю, говорят, что при этих значениях переменных алгебраическая дробь не имеет смысла (не определена), так как деление на ноль является недопустимой операцией.

Рассмотрим пример. Пусть дана алгебраическая дробь $\frac{x+3}{x-4}$.

Если мы хотим найти значение этой дроби при $x=5$, мы подставляем это значение в выражение:
$\frac{5+3}{5-4} = \frac{8}{1} = 8$.
Таким образом, значение дроби при $x=5$ равно $8$.

Однако, если мы попытаемся найти значение дроби при $x=4$, то знаменатель обратится в ноль:
$4-4=0$.
Поскольку делить на ноль нельзя, при $x=4$ данная алгебраическая дробь не имеет значения. Значение $x=4$ является недопустимым для этой дроби.

Ответ: Значением алгебраической дроби называется число, полученное в результате подстановки допустимых числовых значений переменных в числитель и знаменатель и выполнения последующих вычислений.

3. Что такое допустимые значения букв, входящих в алгебраическую дробь?

Алгебраическая дробь — это дробное выражение вида $\frac{A}{B}$, где $A$ (числитель) и $B$ (знаменатель) являются алгебраическими выражениями (например, многочленами), содержащими переменные (буквы).

Основное правило арифметики, которое критически важно для дробей, заключается в том, что деление на ноль не определено. Это означает, что любое выражение, находящееся в знаменателе дроби, не может быть равно нулю. Если при каких-то значениях переменных знаменатель обращается в ноль, то вся алгебраическая дробь теряет смысл (не определена) при этих значениях.

Допустимые значения букв (переменных), входящих в алгебраическую дробь, — это множество всех таких значений этих переменных, при которых данная дробь имеет смысл. Иными словами, это все значения переменных, при которых знаменатель дроби не равен нулю. Это множество также называют областью определения выражения или областью допустимых значений (ОДЗ).

Чтобы найти допустимые значения переменных для алгебраической дроби, нужно:

1. Приравнять знаменатель дроби к нулю.
2. Решить полученное уравнение.
3. Исключить найденные корни из множества всех действительных чисел. Все остальные значения и будут допустимыми.

Рассмотрим несколько примеров:

• Пример 1: Дробь $\frac{5}{x+4}$.
  Знаменатель $x+4$ не должен быть равен нулю.
  Найдем значение $x$, при котором знаменатель равен нулю: $x+4 = 0 \Rightarrow x = -4$.
  Значит, $x$ не может быть равен $-4$. Допустимыми являются все значения, кроме $x=-4$.
• Пример 2: Дробь $\frac{a-1}{a^2-9}$.
  Знаменатель $a^2-9$ не должен быть равен нулю.
  Решим уравнение $a^2-9 = 0$.
  $(a-3)(a+3) = 0$.
  Корни уравнения: $a=3$ и $a=-3$.
  Следовательно, допустимыми являются все значения переменной $a$, кроме $3$ и $-3$.
• Пример 3: Дробь $\frac{b}{b^2+1}$.
  Знаменатель $b^2+1$ не должен быть равен нулю.
  Выражение $b^2$ всегда неотрицательно (т.е. $b^2 \ge 0$) для любого действительного $b$.
  Поэтому $b^2+1 \ge 1$, и знаменатель никогда не обращается в ноль.
  В этом случае допустимыми являются любые действительные значения переменной $b$.

Ответ: Допустимые значения букв, входящих в алгебраическую дробь, — это все те значения этих букв (переменных), при подстановке которых знаменатель данной дроби не обращается в нуль.

4. Как найти допустимые значения букв, входящих в алгебраическую дробь?

Допустимые значения букв (переменных), входящих в алгебраическую дробь, — это множество всех значений этих переменных, при которых алгебраическая дробь имеет смысл. Алгебраическая дробь — это выражение вида $\frac{A}{B}$, где $A$ (числитель) и $B$ (знаменатель) являются алгебраическими выражениями (например, многочленами).

Главное правило, которое определяет область допустимых значений (ОДЗ) для любой дроби, заключается в том, что знаменатель не может быть равен нулю, так как операция деления на ноль не определена в математике. Числитель при этом может принимать любые значения.

Таким образом, чтобы найти все допустимые значения переменных, нужно определить, при каких значениях знаменатель обращается в ноль, и исключить эти значения.

Алгоритм нахождения допустимых значений

1. Выписать выражение, стоящее в знаменателе дроби.
2. Приравнять это выражение к нулю, составив уравнение.
3. Решить полученное уравнение. Найденные корни и будут являться недопустимыми значениями переменных.
4. Сформулировать ответ: допустимыми являются все значения переменных, кроме тех, что были найдены в пункте 3.

Примеры

1. Найти допустимые значения для дроби $\frac{5}{y+4}$

Следуем алгоритму:

1. Знаменатель дроби: $y+4$.
2. Приравниваем знаменатель к нулю: $y+4 = 0$.
3. Решаем уравнение: $y = -4$.
4. Значение $y=-4$ является недопустимым.

Ответ: Допустимыми значениями являются все числа, кроме -4. Это можно записать как $y \neq -4$ или в виде множества $(-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$.

2. Найти допустимые значения для дроби $\frac{x-2}{x^2-16}$

Следуем алгоритму:

1. Знаменатель дроби: $x^2-16$.
2. Приравниваем знаменатель к нулю: $x^2-16 = 0$.
3. Решаем уравнение. Это неполное квадратное уравнение. Перенесем 16 в правую часть: $x^2 = 16$. Уравнение имеет два корня: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.
4. Значения $x=4$ и $x=-4$ являются недопустимыми.

Ответ: Допустимыми значениями являются все числа, кроме 4 и -4. Запись: $x \neq 4$ и $x \neq -4$.

3. Найти допустимые значения для дроби $\frac{a+b}{a(a-b)}$

Здесь в знаменателе две переменные. Алгоритм остается тем же.

1. Знаменатель дроби: $a(a-b)$.
2. Приравниваем знаменатель к нулю: $a(a-b) = 0$.
3. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два условия, при которых знаменатель равен нулю:
   • $a = 0$
   • $a-b = 0 \implies a = b$
4. Значит, пары значений переменных, где $a=0$ или где $a=b$, являются недопустимыми.

Ответ: Допустимыми являются все пары чисел $(a,b)$, для которых $a \neq 0$ и $a \neq b$.

Итоговый вывод

Ответ: Чтобы найти допустимые значения букв, входящих в алгебраическую дробь, необходимо найти значения этих букв, при которых знаменатель дроби обращается в ноль, и исключить их. Для этого знаменатель приравнивают к нулю и решают полученное уравнение. Все числа, за исключением корней этого уравнения, и будут составлять область допустимых значений.

5. Сформулировать основное свойство дроби.

Основное свойство дроби гласит: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится равная ей дробь.

Математически это свойство для дроби $ \frac{a}{b} $ (где $ b \neq 0 $) и любого числа $ n $ ($ n \neq 0 $) можно выразить так:
$ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} $ и $ \frac{a}{b} = \frac{a \div n}{b \div n} $ (где деление возможно без остатка).

Это свойство является ключевым для преобразования дробей. Одно из главных применений — сокращение дробей. Оно заключается в делении числителя и знаменателя на их общий делитель, чтобы упростить дробь. Например, рассмотрим дробь $ \frac{24}{36} $. Их наибольший общий делитель равен 12. Используя основное свойство, разделим числитель и знаменатель на 12:
$ \frac{24}{36} = \frac{24 \div 12}{36 \div 12} = \frac{2}{3} $.
Дроби $ \frac{24}{36} $ и $ \frac{2}{3} $ равны, но вторая является несократимой и более простой для восприятия.

Другое важное применение — приведение дробей к общему знаменателю. Эта операция необходима для сложения и вычитания дробей. Она состоит в умножении числителя и знаменателя на такое число (дополнительный множитель), чтобы знаменатели у нескольких дробей стали одинаковыми. Например, чтобы найти сумму $ \frac{3}{4} + \frac{1}{6} $, нужно привести их к наименьшему общему знаменателю, который для 4 и 6 равен 12.
Для первой дроби дополнительный множитель — $ 12 \div 4 = 3 $:
$ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12} $.
Для второй дроби дополнительный множитель — $ 12 \div 6 = 2 $:
$ \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{2}{12} $.
Теперь можно выполнить сложение: $ \frac{9}{12} + \frac{2}{12} = \frac{11}{12} $.

Таким образом, основное свойство дроби позволяет изменять ее запись, не меняя при этом ее величины, что является фундаментальным для всех операций с дробями.

Ответ: Основное свойство дроби заключается в том, что величина дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

6. Как сократить алгебраическую дробь?

Сокращение алгебраической дроби — это деление ее числителя и знаменателя на их общий множитель, отличный от нуля. Процесс основан на основном свойстве дроби: $\frac{A \cdot C}{B \cdot C} = \frac{A}{B}$, где $B \ne 0$ и $C \ne 0$.

Чтобы сократить алгебраическую дробь, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Разложить числитель и знаменатель на множители.
Это самый важный этап. Для разложения многочленов на множители применяются различные методы:
- вынесение общего множителя за скобки;
- применение формул сокращенного умножения (разность квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, квадрат суммы/разности $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$, сумма/разность кубов $a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$);
- способ группировки;
- разложение квадратного трехчлена на множители по формуле $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения.

2. Найти и сократить общие множители.
После разложения на множители, одинаковые множители в числителе и знаменателе можно сократить (то есть разделить на них числитель и знаменатель).

Важное замечание: Сокращать можно только множители. Нельзя сокращать отдельные слагаемые. Например, в дроби $\frac{x+2}{x+3}$ нельзя сократить $x$, так как $x$ является слагаемым, а не множителем всего выражения.

Пример 1. Сократить дробь $\frac{24a^3b^2c}{36a^2b^4}$

Решение:
Представим числитель и знаменатель в виде произведения числовых и буквенных множителей. Найдем наибольший общий делитель для коэффициентов (НОД(24, 36) = 12) и общие буквенные части ($a^2$ и $b^2$).
$\frac{24a^3b^2c}{36a^2b^4} = \frac{12 \cdot 2 \cdot a^2 \cdot a \cdot b^2 \cdot c}{12 \cdot 3 \cdot a^2 \cdot b^2 \cdot b^2}$
Общие множители в числителе и знаменателе: $12$, $a^2$, $b^2$. Сократим дробь на них.
$\frac{\cancel{12} \cdot 2 \cdot \cancel{a^2} \cdot a \cdot \cancel{b^2} \cdot c}{\cancel{12} \cdot 3 \cdot \cancel{a^2} \cdot \cancel{b^2} \cdot b^2} = \frac{2ac}{3b^2}$
Ответ: $\frac{2ac}{3b^2}$.

Пример 2. Сократить дробь $\frac{5x - 10y}{x^2 - 4y^2}$

Решение:
1. Разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе вынесем общий множитель 5 за скобки: $5x - 10y = 5(x - 2y)$.
В знаменателе используем формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$: $x^2 - 4y^2 = x^2 - (2y)^2 = (x - 2y)(x + 2y)$.
2. Запишем дробь с разложенными числителем и знаменателем:
$\frac{5(x - 2y)}{(x - 2y)(x + 2y)}$
3. Общим множителем является выражение $(x - 2y)$. Сократим на него:
$\frac{5\cancel{(x - 2y)}}{\cancel{(x - 2y)}(x + 2y)} = \frac{5}{x + 2y}$
Ответ: $\frac{5}{x + 2y}$.

Пример 3. Сократить дробь $\frac{y^2 + 6y + 9}{y^2 - 9}$

Решение:
1. Разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе видим формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$: $y^2 + 6y + 9 = y^2 + 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2 = (y+3)^2 = (y+3)(y+3)$.
В знаменателе — формула разности квадратов: $y^2 - 9 = y^2 - 3^2 = (y-3)(y+3)$.
2. Перепишем дробь:
$\frac{(y+3)(y+3)}{(y-3)(y+3)}$
3. Сократим на общий множитель $(y+3)$:
$\frac{(y+3)\cancel{(y+3)}}{(y-3)\cancel{(y+3)}} = \frac{y+3}{y-3}$
Ответ: $\frac{y+3}{y-3}$.

Ответ: Чтобы сократить алгебраическую дробь, нужно разложить её числитель и знаменатель на множители, а затем разделить их на все общие множители.

1. Сократить дробь:

1) $\frac{25}{45}$;

2) $\frac{63}{49}$;

3) $\frac{77}{99}$;

4) $\frac{39}{52}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{25}{45}$, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) для числителя 25 и знаменателя 45. Для этого разложим оба числа на простые множители:
$25 = 5 \cdot 5$
$45 = 3 \cdot 3 \cdot 5$
Общим простым множителем является 5. Значит, НОД(25, 45) = 5.
Теперь разделим числитель и знаменатель дроби на 5:
$\frac{25}{45} = \frac{25 \div 5}{45 \div 5} = \frac{5}{9}$
Ответ: $\frac{5}{9}$

2) Чтобы сократить дробь $\frac{63}{49}$, найдем НОД для чисел 63 и 49. Разложим их на простые множители:
$63 = 3 \cdot 3 \cdot 7$
$49 = 7 \cdot 7$
Общий простой множитель - 7. Следовательно, НОД(63, 49) = 7.
Разделим числитель и знаменатель на 7:
$\frac{63}{49} = \frac{63 \div 7}{49 \div 7} = \frac{9}{7}$
Ответ: $\frac{9}{7}$

3) Чтобы сократить дробь $\frac{77}{99}$, найдем НОД для чисел 77 и 99. Разложим их на простые множители:
$77 = 7 \cdot 11$
$99 = 3 \cdot 3 \cdot 11$
Общий простой множитель - 11. Таким образом, НОД(77, 99) = 11.
Разделим числитель и знаменатель на 11:
$\frac{77}{99} = \frac{77 \div 11}{99 \div 11} = \frac{7}{9}$
Ответ: $\frac{7}{9}$

4) Чтобы сократить дробь $\frac{39}{52}$, найдем НОД для чисел 39 и 52. Разложим их на простые множители:
$39 = 3 \cdot 13$
$52 = 2 \cdot 2 \cdot 13$
Общий простой множитель - 13. Отсюда, НОД(39, 52) = 13.
Разделим числитель и знаменатель на 13:
$\frac{39}{52} = \frac{39 \div 13}{52 \div 13} = \frac{3}{4}$
Ответ: $\frac{3}{4}$

2. Заполнить пропуски:

1) $\frac{9}{11} = \frac{36}{\boxed{}}$;

2) $\frac{7}{4} = \frac{\boxed{}}{60}$.

1)

В заданном равенстве $\frac{9}{11} = \frac{36}{\Box}$ нам нужно найти неизвестный знаменатель второй дроби.

Две дроби равны, если одна может быть получена из другой путем умножения или деления числителя и знаменателя на одно и то же число.

Сравним числители дробей. Чтобы из числителя 9 получить числитель 36, нужно умножить его на некоторое число. Найдем это число: $36 \div 9 = 4$.

Значит, числитель первой дроби был умножен на 4. Согласно основному свойству дроби, чтобы равенство сохранилось, знаменатель первой дроби также нужно умножить на 4.

$11 \times 4 = 44$.

Таким образом, пропущенное число равно 44.

Проверка: $\frac{9}{11} = \frac{9 \times 4}{11 \times 4} = \frac{36}{44}$.

Ответ: 44

2)

В заданном равенстве $\frac{7}{4} = \frac{\Box}{60}$ нам нужно найти неизвестный числитель второй дроби.

Сравним знаменатели дробей. Чтобы из знаменателя 4 получить знаменатель 60, нужно умножить его на некоторое число. Найдем это число: $60 \div 4 = 15$.

Значит, знаменатель первой дроби был умножен на 15. Чтобы сохранить равенство, числитель первой дроби также нужно умножить на 15.

$7 \times 15 = 105$.

Таким образом, пропущенное число равно 105.

Проверка: $\frac{7}{4} = \frac{7 \times 15}{4 \times 15} = \frac{105}{60}$.

Ответ: 105

3. Разложить на множители:

1) $5a^2 - 20a;$

2) $12a^2b + 18ab^2;$

3) $4x^2 - 25y^2;$

4) $7x^2 - 28;$

5) $9a^2 - 24ab + 16b^2;$

6) $2ac + 6a - bc - 3b.$

1) $5a^2 - 20a$

Для разложения на множители данного выражения, найдем наибольший общий делитель (НОД) для одночленов $5a^2$ и $20a$. Коэффициенты 5 и 20 имеют НОД, равный 5. Переменные $a^2$ и $a$ имеют общую часть $a$. Следовательно, общий множитель, который можно вынести за скобки, это $5a$. Вынесем $5a$ за скобки: $5a^2 - 20a = 5a \cdot a - 5a \cdot 4 = 5a(a - 4)$.

Ответ: $5a(a - 4)$

2) $12a^2b + 18ab^2$

Найдем наибольший общий делитель для одночленов $12a^2b$ и $18ab^2$. НОД для коэффициентов 12 и 18 равен 6. Общая часть для переменных $a^2b$ и $ab^2$ это $ab$. Таким образом, общий множитель для вынесения за скобки - это $6ab$. Выполним вынесение: $12a^2b + 18ab^2 = 6ab \cdot 2a + 6ab \cdot 3b = 6ab(2a + 3b)$.

Ответ: $6ab(2a + 3b)$

3) $4x^2 - 25y^2$

Данное выражение представляет собой разность квадратов, которая раскладывается по формуле $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. В нашем случае $A^2 = 4x^2 = (2x)^2$, значит $A = 2x$. И $B^2 = 25y^2 = (5y)^2$, значит $B = 5y$. Применяем формулу разности квадратов: $4x^2 - 25y^2 = (2x)^2 - (5y)^2 = (2x - 5y)(2x + 5y)$.

Ответ: $(2x - 5y)(2x + 5y)$

4) $7x^2 - 28$

Сначала вынесем за скобки общий числовой множитель. НОД для 7 и 28 равен 7. Получаем $7x^2 - 28 = 7(x^2 - 4)$. Выражение в скобках $x^2 - 4$ является разностью квадратов, так как $x^2 = (x)^2$ и $4 = 2^2$. Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$ к выражению $x^2 - 4$: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$. Таким образом, полное разложение на множители будет: $7(x - 2)(x + 2)$.

Ответ: $7(x - 2)(x + 2)$

5) $9a^2 - 24ab + 16b^2$

Это выражение является полным квадратом разности, который раскладывается по формуле $A^2 - 2AB + B^2 = (A - B)^2$. Проверим, подходит ли наше выражение под эту формулу. Первый член: $9a^2 = (3a)^2$. Значит, $A = 3a$. Третий член: $16b^2 = (4b)^2$. Значит, $B = 4b$. Средний член: $-2AB = -2 \cdot (3a) \cdot (4b) = -24ab$. Это соответствует среднему члену нашего выражения. Следовательно, мы можем применить формулу квадрата разности: $9a^2 - 24ab + 16b^2 = (3a - 4b)^2$.

Ответ: $(3a - 4b)^2$

6) $2ac + 6a - bc - 3b$

Для разложения этого многочлена на множители используем метод группировки. Сгруппируем первые два члена и последние два члена: $(2ac + 6a) + (-bc - 3b)$. Вынесем общий множитель из каждой группы. Из первой группы $(2ac + 6a)$ выносим $2a$: $2a(c + 3)$. Из второй группы $(-bc - 3b)$ выносим $-b$: $-b(c + 3)$. Теперь выражение имеет вид: $2a(c + 3) - b(c + 3)$. Мы видим общий множитель $(c + 3)$, который можно вынести за скобки: $(c + 3)(2a - b)$.

Ответ: $(2a - b)(c + 3)$

4. Решить уравнение:

1) $(x+7)(2x-5)=0$;

2) $x(2x-3)(x-6)=0$;

3) $9x^2-1=0$;

4) $x^3-16x=0$.

1) $(x+7)(2x-5)=0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, мы можем приравнять каждый множитель к нулю и решить полученные уравнения:

$x+7=0$ или $2x-5=0$

Решаем первое уравнение:

$x_1 = -7$

Решаем второе уравнение:

$2x = 5$
$x_2 = 5/2 = 2,5$

Ответ: -7; 2,5.

2) $x(2x-3)(x-6)=0$

Данное уравнение представляет собой произведение трех множителей, равное нулю. Это возможно, если один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый из них к нулю:

$x=0$ или $2x-3=0$ или $x-6=0$

Первый корень уже известен:

$x_1 = 0$

Решаем второе уравнение:

$2x = 3$
$x_2 = 3/2 = 1,5$

Решаем третье уравнение:

$x_3 = 6$

Ответ: 0; 1,5; 6.

3) $9x^2-1=0$

Это неполное квадратное уравнение. Его можно решить, выразив $x^2$:

$9x^2 = 1$

$x^2 = 1/9$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что корень может быть как положительным, так и отрицательным:

$x = \pm\sqrt{1/9}$
$x_1 = 1/3$, $x_2 = -1/3$

Также это уравнение можно решить, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$9x^2-1 = (3x)^2 - 1^2 = (3x-1)(3x+1)=0$

$3x-1=0$ или $3x+1=0$
$3x=1 \implies x=1/3$
$3x=-1 \implies x=-1/3$

Ответ: -1/3; 1/3.

4) $x^3-16x=0$

Для решения этого кубического уравнения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 16) = 0$

Теперь у нас снова произведение, равное нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x=0$ или $x^2-16=0$

Первый корень:

$x_1 = 0$

Решаем второе уравнение, которое является разностью квадратов:

$x^2=16$
$x = \pm\sqrt{16}$
$x_2 = 4$, $x_3 = -4$

Ответ: -4; 0; 4.

5. Найти все значения $x$, при которых верно равенство:

1) $|x|=10$;

2) $|x|=0.7$.

1) Дано уравнение $|x| = 10$.

Модуль (или абсолютная величина) числа — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой. Уравнение $|x|=a$ (где $a>0$) означает, что мы ищем числа $x$, которые находятся на расстоянии $a$ от нуля. Таких чисел всегда два: $a$ и $-a$.

В данном случае $a=10$. Следовательно, есть два значения $x$, удовлетворяющих равенству:

$x_1 = 10$

$x_2 = -10$

Проверка: $|10| = 10$ $|-10| = 10$ Оба значения верны.

Ответ: $x=10$ или $x=-10$.

2) Дано уравнение $|x| = 0,7$.

Рассуждая аналогично первому пункту, мы ищем числа $x$, модуль которых равен 0,7. Это означает, что расстояние от этих чисел до нуля на координатной прямой равно 0,7.

В данном случае $a=0,7$. Следовательно, есть два значения $x$, удовлетворяющих равенству:

$x_1 = 0,7$

$x_2 = -0,7$

Проверка: $|0,7| = 0,7$ $|-0,7| = 0,7$ Оба значения верны.

Ответ: $x=0,7$ или $x=-0,7$.

6. Чему равен $|a|$, если:

1) $a > 0;$

2) $a = 0;$

3) $a < 0?$

Для решения этой задачи необходимо использовать определение модуля (абсолютной величины) числа. Модулем числа $a$, который обозначается как $|a|$, называют само это число $a$, если оно неотрицательное ($a \ge 0$), и противоположное ему число $-a$, если число $a$ отрицательное ($a < 0$).

1) $a > 0$; В этом случае число $a$ является положительным. Согласно определению, модуль положительного числа равен самому этому числу. Таким образом, если $a > 0$, то $|a| = a$. Например, если $a=5$, то $|5|=5$. Ответ: $a$.

2) $a = 0$; В этом случае число $a$ равно нулю. Ноль является неотрицательным числом, поэтому для него также выполняется правило $|a| = a$. Подставив $a=0$, получаем $|0|=0$. Ответ: $0$.

3) $a < 0$? В этом случае число $a$ является отрицательным. Согласно определению, модуль отрицательного числа равен числу, ему противоположному, то есть $-a$. Важно понимать, что если $a$ — отрицательное число, то $-a$ — это положительное число. Например, если $a = -3$, то $|-3| = -(-3) = 3$. Ответ: $-a$.

1. Записать алгебраическую дробь, числитель которой равен разности квадратов чисел a и b, а знаменатель — квадрату разности этих чисел.

1. Чтобы записать требуемую алгебраическую дробь, необходимо последовательно перевести словесное описание ее числителя и знаменателя в математические выражения.

Сначала определим числитель дроби. "Разность квадратов чисел a и b" записывается математически как выражение $a^2 - b^2$.

Далее определим знаменатель дроби. "Квадрат разности этих чисел" записывается как $(a - b)^2$.

Теперь составим дробь, разделив числитель на знаменатель:

$ \frac{a^2 - b^2}{(a - b)^2} $

Эту дробь можно упростить. Числитель $a^2 - b^2$ является разностью квадратов и раскладывается на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Подставим это в нашу дробь:

$ \frac{(a - b)(a + b)}{(a - b)^2} $

При условии, что $a \neq b$ (иначе знаменатель равен нулю), мы можем сократить общий множитель $(a - b)$ в числителе и знаменателе:

$ \frac{(a - b)(a + b)}{(a - b)(a - b)} = \frac{a + b}{a - b} $

Таким образом, искомая алгебраическая дробь в ее первоначальном виде, как требуется в условии, это $ \frac{a^2 - b^2}{(a - b)^2} $.

Ответ: $ \frac{a^2 - b^2}{(a - b)^2} $.