Номер 4, страница 8 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 1. Алгебраическая дробь. Сокращение дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 4, страница 8.

Условие.

4. Как найти допустимые значения букв, входящих в алгебраическую дробь?

Решение 4.

Допустимые значения букв (переменных), входящих в алгебраическую дробь, — это множество всех значений этих переменных, при которых алгебраическая дробь имеет смысл. Алгебраическая дробь — это выражение вида $\frac{A}{B}$, где $A$ (числитель) и $B$ (знаменатель) являются алгебраическими выражениями (например, многочленами).

Главное правило, которое определяет область допустимых значений (ОДЗ) для любой дроби, заключается в том, что знаменатель не может быть равен нулю, так как операция деления на ноль не определена в математике. Числитель при этом может принимать любые значения.

Таким образом, чтобы найти все допустимые значения переменных, нужно определить, при каких значениях знаменатель обращается в ноль, и исключить эти значения.

Алгоритм нахождения допустимых значений

1. Выписать выражение, стоящее в знаменателе дроби.
2. Приравнять это выражение к нулю, составив уравнение.
3. Решить полученное уравнение. Найденные корни и будут являться недопустимыми значениями переменных.
4. Сформулировать ответ: допустимыми являются все значения переменных, кроме тех, что были найдены в пункте 3.

Примеры

1. Найти допустимые значения для дроби $\frac{5}{y+4}$

Следуем алгоритму:

1. Знаменатель дроби: $y+4$.
2. Приравниваем знаменатель к нулю: $y+4 = 0$.
3. Решаем уравнение: $y = -4$.
4. Значение $y=-4$ является недопустимым.

Ответ: Допустимыми значениями являются все числа, кроме -4. Это можно записать как $y \neq -4$ или в виде множества $(-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$.

2. Найти допустимые значения для дроби $\frac{x-2}{x^2-16}$

Следуем алгоритму:

1. Знаменатель дроби: $x^2-16$.
2. Приравниваем знаменатель к нулю: $x^2-16 = 0$.
3. Решаем уравнение. Это неполное квадратное уравнение. Перенесем 16 в правую часть: $x^2 = 16$. Уравнение имеет два корня: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.
4. Значения $x=4$ и $x=-4$ являются недопустимыми.

Ответ: Допустимыми значениями являются все числа, кроме 4 и -4. Запись: $x \neq 4$ и $x \neq -4$.

3. Найти допустимые значения для дроби $\frac{a+b}{a(a-b)}$

Здесь в знаменателе две переменные. Алгоритм остается тем же.

1. Знаменатель дроби: $a(a-b)$.
2. Приравниваем знаменатель к нулю: $a(a-b) = 0$.
3. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два условия, при которых знаменатель равен нулю:
   • $a = 0$
   • $a-b = 0 \implies a = b$
4. Значит, пары значений переменных, где $a=0$ или где $a=b$, являются недопустимыми.

Ответ: Допустимыми являются все пары чисел $(a,b)$, для которых $a \neq 0$ и $a \neq b$.

---

Итоговый вывод

Ответ: Чтобы найти допустимые значения букв, входящих в алгебраическую дробь, необходимо найти значения этих букв, при которых знаменатель дроби обращается в ноль, и исключить их. Для этого знаменатель приравнивают к нулю и решают полученное уравнение. Все числа, за исключением корней этого уравнения, и будут составлять область допустимых значений.