Номер 3, страница 8 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 1. Алгебраическая дробь. Сокращение дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 3, страница 8.

Условие.

3. Что такое допустимые значения букв, входящих в алгебраическую дробь?

Решение 4.

Алгебраическая дробь — это дробное выражение вида $\frac{A}{B}$, где $A$ (числитель) и $B$ (знаменатель) являются алгебраическими выражениями (например, многочленами), содержащими переменные (буквы).

Основное правило арифметики, которое критически важно для дробей, заключается в том, что деление на ноль не определено. Это означает, что любое выражение, находящееся в знаменателе дроби, не может быть равно нулю. Если при каких-то значениях переменных знаменатель обращается в ноль, то вся алгебраическая дробь теряет смысл (не определена) при этих значениях.

Допустимые значения букв (переменных), входящих в алгебраическую дробь, — это множество всех таких значений этих переменных, при которых данная дробь имеет смысл. Иными словами, это все значения переменных, при которых знаменатель дроби не равен нулю. Это множество также называют областью определения выражения или областью допустимых значений (ОДЗ).

Чтобы найти допустимые значения переменных для алгебраической дроби, нужно:

1. Приравнять знаменатель дроби к нулю.
2. Решить полученное уравнение.
3. Исключить найденные корни из множества всех действительных чисел. Все остальные значения и будут допустимыми.

Рассмотрим несколько примеров:

• Пример 1: Дробь $\frac{5}{x+4}$.
  Знаменатель $x+4$ не должен быть равен нулю.
  Найдем значение $x$, при котором знаменатель равен нулю: $x+4 = 0 \Rightarrow x = -4$.
  Значит, $x$ не может быть равен $-4$. Допустимыми являются все значения, кроме $x=-4$.
• Пример 2: Дробь $\frac{a-1}{a^2-9}$.
  Знаменатель $a^2-9$ не должен быть равен нулю.
  Решим уравнение $a^2-9 = 0$.
  $(a-3)(a+3) = 0$.
  Корни уравнения: $a=3$ и $a=-3$.
  Следовательно, допустимыми являются все значения переменной $a$, кроме $3$ и $-3$.
• Пример 3: Дробь $\frac{b}{b^2+1}$.
  Знаменатель $b^2+1$ не должен быть равен нулю.
  Выражение $b^2$ всегда неотрицательно (т.е. $b^2 \ge 0$) для любого действительного $b$.
  Поэтому $b^2+1 \ge 1$, и знаменатель никогда не обращается в ноль.
  В этом случае допустимыми являются любые действительные значения переменной $b$.

Ответ: Допустимые значения букв, входящих в алгебраическую дробь, — это все те значения этих букв (переменных), при подстановке которых знаменатель данной дроби не обращается в нуль.