Номер 5, страница 8 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 1. Алгебраическая дробь. Сокращение дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 5, страница 8.

Условие.

5. Сформулировать основное свойство дроби.

Решение 4.

Основное свойство дроби гласит: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится равная ей дробь.

Математически это свойство для дроби $ \frac{a}{b} $ (где $ b \neq 0 $) и любого числа $ n $ ($ n \neq 0 $) можно выразить так:
$ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} $ и $ \frac{a}{b} = \frac{a \div n}{b \div n} $ (где деление возможно без остатка).

Это свойство является ключевым для преобразования дробей. Одно из главных применений — сокращение дробей. Оно заключается в делении числителя и знаменателя на их общий делитель, чтобы упростить дробь. Например, рассмотрим дробь $ \frac{24}{36} $. Их наибольший общий делитель равен 12. Используя основное свойство, разделим числитель и знаменатель на 12:
$ \frac{24}{36} = \frac{24 \div 12}{36 \div 12} = \frac{2}{3} $.
Дроби $ \frac{24}{36} $ и $ \frac{2}{3} $ равны, но вторая является несократимой и более простой для восприятия.

Другое важное применение — приведение дробей к общему знаменателю. Эта операция необходима для сложения и вычитания дробей. Она состоит в умножении числителя и знаменателя на такое число (дополнительный множитель), чтобы знаменатели у нескольких дробей стали одинаковыми. Например, чтобы найти сумму $ \frac{3}{4} + \frac{1}{6} $, нужно привести их к наименьшему общему знаменателю, который для 4 и 6 равен 12.
Для первой дроби дополнительный множитель — $ 12 \div 4 = 3 $:
$ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12} $.
Для второй дроби дополнительный множитель — $ 12 \div 6 = 2 $:
$ \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{2}{12} $.
Теперь можно выполнить сложение: $ \frac{9}{12} + \frac{2}{12} = \frac{11}{12} $.

Таким образом, основное свойство дроби позволяет изменять ее запись, не меняя при этом ее величины, что является фундаментальным для всех операций с дробями.

Ответ: Основное свойство дроби заключается в том, что величина дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.