Номер 3, страница 8 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Вводные упражнения. Параграф 1. Алгебраическая дробь. Сокращение дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 3, страница 8.

Условие.

3. Разложить на множители:

1) $5a^2 - 20a;$

2) $12a^2b + 18ab^2;$

3) $4x^2 - 25y^2;$

4) $7x^2 - 28;$

5) $9a^2 - 24ab + 16b^2;$

6) $2ac + 6a - bc - 3b.$

Решение 4.

1) $5a^2 - 20a$

Для разложения на множители данного выражения, найдем наибольший общий делитель (НОД) для одночленов $5a^2$ и $20a$. Коэффициенты 5 и 20 имеют НОД, равный 5. Переменные $a^2$ и $a$ имеют общую часть $a$. Следовательно, общий множитель, который можно вынести за скобки, это $5a$. Вынесем $5a$ за скобки: $5a^2 - 20a = 5a \cdot a - 5a \cdot 4 = 5a(a - 4)$.

Ответ: $5a(a - 4)$

2) $12a^2b + 18ab^2$

Найдем наибольший общий делитель для одночленов $12a^2b$ и $18ab^2$. НОД для коэффициентов 12 и 18 равен 6. Общая часть для переменных $a^2b$ и $ab^2$ это $ab$. Таким образом, общий множитель для вынесения за скобки - это $6ab$. Выполним вынесение: $12a^2b + 18ab^2 = 6ab \cdot 2a + 6ab \cdot 3b = 6ab(2a + 3b)$.

Ответ: $6ab(2a + 3b)$

3) $4x^2 - 25y^2$

Данное выражение представляет собой разность квадратов, которая раскладывается по формуле $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. В нашем случае $A^2 = 4x^2 = (2x)^2$, значит $A = 2x$. И $B^2 = 25y^2 = (5y)^2$, значит $B = 5y$. Применяем формулу разности квадратов: $4x^2 - 25y^2 = (2x)^2 - (5y)^2 = (2x - 5y)(2x + 5y)$.

Ответ: $(2x - 5y)(2x + 5y)$

4) $7x^2 - 28$

Сначала вынесем за скобки общий числовой множитель. НОД для 7 и 28 равен 7. Получаем $7x^2 - 28 = 7(x^2 - 4)$. Выражение в скобках $x^2 - 4$ является разностью квадратов, так как $x^2 = (x)^2$ и $4 = 2^2$. Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$ к выражению $x^2 - 4$: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$. Таким образом, полное разложение на множители будет: $7(x - 2)(x + 2)$.

Ответ: $7(x - 2)(x + 2)$

5) $9a^2 - 24ab + 16b^2$

Это выражение является полным квадратом разности, который раскладывается по формуле $A^2 - 2AB + B^2 = (A - B)^2$. Проверим, подходит ли наше выражение под эту формулу. Первый член: $9a^2 = (3a)^2$. Значит, $A = 3a$. Третий член: $16b^2 = (4b)^2$. Значит, $B = 4b$. Средний член: $-2AB = -2 \cdot (3a) \cdot (4b) = -24ab$. Это соответствует среднему члену нашего выражения. Следовательно, мы можем применить формулу квадрата разности: $9a^2 - 24ab + 16b^2 = (3a - 4b)^2$.

Ответ: $(3a - 4b)^2$

6) $2ac + 6a - bc - 3b$

Для разложения этого многочлена на множители используем метод группировки. Сгруппируем первые два члена и последние два члена: $(2ac + 6a) + (-bc - 3b)$. Вынесем общий множитель из каждой группы. Из первой группы $(2ac + 6a)$ выносим $2a$: $2a(c + 3)$. Из второй группы $(-bc - 3b)$ выносим $-b$: $-b(c + 3)$. Теперь выражение имеет вид: $2a(c + 3) - b(c + 3)$. Мы видим общий множитель $(c + 3)$, который можно вынести за скобки: $(c + 3)(2a - b)$.

Ответ: $(2a - b)(c + 3)$