Номер 6, страница 8 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 1. Алгебраическая дробь. Сокращение дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 6, страница 8.

Условие.

6. Как сократить алгебраическую дробь?

Решение 4.

Сокращение алгебраической дроби — это деление ее числителя и знаменателя на их общий множитель, отличный от нуля. Процесс основан на основном свойстве дроби: $\frac{A \cdot C}{B \cdot C} = \frac{A}{B}$, где $B \ne 0$ и $C \ne 0$.

Чтобы сократить алгебраическую дробь, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Разложить числитель и знаменатель на множители.
Это самый важный этап. Для разложения многочленов на множители применяются различные методы:
- вынесение общего множителя за скобки;
- применение формул сокращенного умножения (разность квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, квадрат суммы/разности $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$, сумма/разность кубов $a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$);
- способ группировки;
- разложение квадратного трехчлена на множители по формуле $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения.

2. Найти и сократить общие множители.
После разложения на множители, одинаковые множители в числителе и знаменателе можно сократить (то есть разделить на них числитель и знаменатель).

Важное замечание: Сокращать можно только множители. Нельзя сокращать отдельные слагаемые. Например, в дроби $\frac{x+2}{x+3}$ нельзя сократить $x$, так как $x$ является слагаемым, а не множителем всего выражения.

Пример 1. Сократить дробь $\frac{24a^3b^2c}{36a^2b^4}$

Решение:
Представим числитель и знаменатель в виде произведения числовых и буквенных множителей. Найдем наибольший общий делитель для коэффициентов (НОД(24, 36) = 12) и общие буквенные части ($a^2$ и $b^2$).
$\frac{24a^3b^2c}{36a^2b^4} = \frac{12 \cdot 2 \cdot a^2 \cdot a \cdot b^2 \cdot c}{12 \cdot 3 \cdot a^2 \cdot b^2 \cdot b^2}$
Общие множители в числителе и знаменателе: $12$, $a^2$, $b^2$. Сократим дробь на них.
$\frac{\cancel{12} \cdot 2 \cdot \cancel{a^2} \cdot a \cdot \cancel{b^2} \cdot c}{\cancel{12} \cdot 3 \cdot \cancel{a^2} \cdot \cancel{b^2} \cdot b^2} = \frac{2ac}{3b^2}$
Ответ: $\frac{2ac}{3b^2}$.

Пример 2. Сократить дробь $\frac{5x - 10y}{x^2 - 4y^2}$

Решение:
1. Разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе вынесем общий множитель 5 за скобки: $5x - 10y = 5(x - 2y)$.
В знаменателе используем формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$: $x^2 - 4y^2 = x^2 - (2y)^2 = (x - 2y)(x + 2y)$.
2. Запишем дробь с разложенными числителем и знаменателем:
$\frac{5(x - 2y)}{(x - 2y)(x + 2y)}$
3. Общим множителем является выражение $(x - 2y)$. Сократим на него:
$\frac{5\cancel{(x - 2y)}}{\cancel{(x - 2y)}(x + 2y)} = \frac{5}{x + 2y}$
Ответ: $\frac{5}{x + 2y}$.

Пример 3. Сократить дробь $\frac{y^2 + 6y + 9}{y^2 - 9}$

Решение:
1. Разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе видим формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$: $y^2 + 6y + 9 = y^2 + 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2 = (y+3)^2 = (y+3)(y+3)$.
В знаменателе — формула разности квадратов: $y^2 - 9 = y^2 - 3^2 = (y-3)(y+3)$.
2. Перепишем дробь:
$\frac{(y+3)(y+3)}{(y-3)(y+3)}$
3. Сократим на общий множитель $(y+3)$:
$\frac{(y+3)\cancel{(y+3)}}{(y-3)\cancel{(y+3)}} = \frac{y+3}{y-3}$
Ответ: $\frac{y+3}{y-3}$.

Ответ: Чтобы сократить алгебраическую дробь, нужно разложить её числитель и знаменатель на множители, а затем разделить их на все общие множители.