Номер 4, страница 8 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Вводные упражнения. Параграф 1. Алгебраическая дробь. Сокращение дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 4, страница 8.

Условие.

4. Решить уравнение:

1) $(x+7)(2x-5)=0$;

2) $x(2x-3)(x-6)=0$;

3) $9x^2-1=0$;

4) $x^3-16x=0$.

Решение 4.

1) $(x+7)(2x-5)=0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, мы можем приравнять каждый множитель к нулю и решить полученные уравнения:

$x+7=0$ или $2x-5=0$

Решаем первое уравнение:

$x_1 = -7$

Решаем второе уравнение:

$2x = 5$
$x_2 = 5/2 = 2,5$

Ответ: -7; 2,5.

2) $x(2x-3)(x-6)=0$

Данное уравнение представляет собой произведение трех множителей, равное нулю. Это возможно, если один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый из них к нулю:

$x=0$ или $2x-3=0$ или $x-6=0$

Первый корень уже известен:

$x_1 = 0$

Решаем второе уравнение:

$2x = 3$
$x_2 = 3/2 = 1,5$

Решаем третье уравнение:

$x_3 = 6$

Ответ: 0; 1,5; 6.

3) $9x^2-1=0$

Это неполное квадратное уравнение. Его можно решить, выразив $x^2$:

$9x^2 = 1$

$x^2 = 1/9$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что корень может быть как положительным, так и отрицательным:

$x = \pm\sqrt{1/9}$
$x_1 = 1/3$, $x_2 = -1/3$

Также это уравнение можно решить, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$9x^2-1 = (3x)^2 - 1^2 = (3x-1)(3x+1)=0$

$3x-1=0$ или $3x+1=0$
$3x=1 \implies x=1/3$
$3x=-1 \implies x=-1/3$

Ответ: -1/3; 1/3.

4) $x^3-16x=0$

Для решения этого кубического уравнения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 16) = 0$

Теперь у нас снова произведение, равное нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:

$x=0$ или $x^2-16=0$

Первый корень:

$x_1 = 0$

Решаем второе уравнение, которое является разностью квадратов:

$x^2=16$
$x = \pm\sqrt{16}$
$x_2 = 4$, $x_3 = -4$

Ответ: -4; 0; 4.