Страница 9 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

2. Записать алгебраическую дробь, числитель которой равен сумме кубов чисел с и d, а знаменатель — удвоенному произведению этих чисел.

$\frac{c^3 + d^3}{2cd}$

Для того чтобы записать требуемую алгебраическую дробь, необходимо определить ее числитель и знаменатель согласно условию задачи.

1. Найдем числитель дроби.
В условии сказано, что числитель равен сумме кубов чисел $c$ и $d$. Куб числа $c$ — это $c^3$.
Куб числа $d$ — это $d^3$.
Сумма этих кубов записывается как $c^3 + d^3$.
Таким образом, числитель дроби равен $c^3 + d^3$.

2. Найдем знаменатель дроби.
В условии сказано, что знаменатель равен удвоенному произведению этих чисел (то есть чисел $c$ и $d$). Произведение чисел $c$ и $d$ — это $c \cdot d$ или просто $cd$.
Удвоенное произведение — это произведение, умноженное на 2. Оно записывается как $2cd$.
Таким образом, знаменатель дроби равен $2cd$.

3. Составим алгебраическую дробь.
Запишем дробь, подставив найденные выражения для числителя и знаменателя: $\frac{\text{числитель}}{\text{знаменатель}} = \frac{c^3 + d^3}{2cd}$.

Ответ: $\frac{c^3 + d^3}{2cd}$

3. Найти значение алгебраической дроби:

1) $\frac{x}{4}$ при $x=2$, $x=-8$, $x=\frac{1}{2}$, $x=4,24$;

2) $\frac{a}{5}$ при $a=25$, $a=-125$, $a=12,5$, $a=0$;

3) $\frac{18}{c-5}$ при $c=8$, $c=-13$, $c=5,3$;

4) $\frac{3+2b}{b}$ при $b=-3$, $b=5$, $b=0,3$.

1) Чтобы найти значение алгебраической дроби, необходимо подставить в неё заданные значения переменной. Для дроби $\frac{x}{4}$:

• При $x=2$: $\frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0,5$
• При $x=-8$: $\frac{-8}{4} = -2$
• При $x=\frac{1}{2}$: $\frac{\frac{1}{2}}{4} = \frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{8} = 0,125$
• При $x=4,24$: $\frac{4,24}{4} = 1,06$

Ответ: $0,5$; $-2$; $0,125$; $1,06$.

2) Вычислим значение дроби $\frac{a}{5}$ для заданных значений $a$:

• При $a=25$: $\frac{25}{5} = 5$
• При $a=-125$: $\frac{-125}{5} = -25$
• При $a=12,5$: $\frac{12,5}{5} = 2,5$
• При $a=0$: $\frac{0}{5} = 0$

Ответ: $5$; $-25$; $2,5$; $0$.

3) Вычислим значение дроби $\frac{18}{c-5}$ для заданных значений $c$:

• При $c=8$: $\frac{18}{c-5} = \frac{18}{8-5} = \frac{18}{3} = 6$
• При $c=-13$: $\frac{18}{c-5} = \frac{18}{-13-5} = \frac{18}{-18} = -1$
• При $c=5,3$: $\frac{18}{c-5} = \frac{18}{5,3-5} = \frac{18}{0,3} = \frac{180}{3} = 60$

Ответ: $6$; $-1$; $60$.

4) Вычислим значение дроби $\frac{3+2b}{b}$ для заданных значений $b$:

• При $b=-3$: $\frac{3+2b}{b} = \frac{3+2(-3)}{-3} = \frac{3-6}{-3} = \frac{-3}{-3} = 1$
• При $b=5$: $\frac{3+2b}{b} = \frac{3+2 \cdot 5}{5} = \frac{3+10}{5} = \frac{13}{5} = 2,6$
• При $b=0,3$: $\frac{3+2b}{b} = \frac{3+2 \cdot 0,3}{0,3} = \frac{3+0,6}{0,3} = \frac{3,6}{0,3} = 12$

Ответ: $1$; $2,6$; $12$.

4. Найти допустимые значения букв, входящих в дробь:

1) $ \frac{3}{a} $;

2) $ \frac{-4}{b} $;

3) $ \frac{a-b}{a+2} $;

4) $ \frac{a+5}{3-a} $.

1) Допустимые значения переменной в дроби — это все значения, при которых ее знаменатель не равен нулю. В дроби $\frac{3}{a}$ знаменатель равен $a$. Чтобы найти недопустимые значения, приравняем знаменатель к нулю: $a=0$. Таким образом, переменная $a$ может принимать любые значения, кроме нуля.
Ответ: $a \neq 0$.

2) В дроби $\frac{-4}{b}$ знаменатель равен $b$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $b \neq 0$. Переменная $b$ может быть любым числом, кроме нуля.
Ответ: $b \neq 0$.

3) В дроби $\frac{a-b}{a+2}$ знаменатель равен $a+2$. Найдем значение переменной $a$, при котором знаменатель обращается в ноль, решив уравнение:
$a + 2 = 0$
$a = -2$
Это значение для $a$ является недопустимым. Переменная $b$ находится в числителе и не влияет на знаменатель, поэтому она может принимать любые значения.
Ответ: $a \neq -2$, $b$ – любое число.

4) В дроби $\frac{a+5}{3-a}$ знаменатель равен $3-a$. Найдем недопустимые значения, приравняв знаменатель к нулю:
$3 - a = 0$
$a = 3$
Следовательно, переменная $a$ может принимать любые значения, кроме $3$.
Ответ: $a \neq 3$.

5. 1) Из формулы $p=2(a+b)$ найти $a$.

2) Из формулы $s=s_0+vt$ найти $v$.

1) Из формулы $p=2(a+b)$ найти $a$.

Чтобы выразить переменную $a$ из формулы периметра прямоугольника $p=2(a+b)$, необходимо выполнить следующие алгебраические преобразования:

1. Исходная формула:

$p = 2(a+b)$

2. Разделим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от множителя перед скобками. Это позволит нам "добраться" до суммы $(a+b)$.

$\frac{p}{2} = \frac{2(a+b)}{2}$

После сокращения получаем:

$\frac{p}{2} = a+b$

3. Теперь, чтобы выделить переменную $a$, нам нужно избавиться от слагаемого $b$ в правой части. Для этого вычтем $b$ из обеих частей уравнения.

$\frac{p}{2} - b = a + b - b$

В результате получаем выражение для $a$:

$\frac{p}{2} - b = a$

4. Для удобства записи поменяем местами левую и правую части уравнения:

$a = \frac{p}{2} - b$

Эту же формулу можно записать, приведя правую часть к общему знаменателю:

$a = \frac{p}{2} - \frac{2b}{2} = \frac{p - 2b}{2}$

Оба варианта записи являются верными.

Ответ: $a = \frac{p}{2} - b$ (или $a = \frac{p - 2b}{2}$).

2) Из формулы $s=s_0+vt$ найти $v$.

Чтобы выразить скорость $v$ из формулы координаты при равномерном прямолинейном движении $s=s_0+vt$, выполним следующие шаги:

1. Исходная формула:

$s = s_0 + vt$

2. Наша цель — изолировать $v$. Сначала изолируем слагаемое, которое содержит $v$, то есть $vt$. Для этого перенесем начальную координату $s_0$ из правой части уравнения в левую. При переносе через знак равенства знак слагаемого меняется на противоположный (это эквивалентно вычитанию $s_0$ из обеих частей уравнения).

$s - s_0 = s_0 + vt - s_0$

Получаем:

$s - s_0 = vt$

3. Теперь переменная $v$ умножена на время $t$. Чтобы найти $v$, нужно разделить обе части уравнения на $t$. Предполагается, что время движения $t$ не равно нулю ($t \ne 0$).

$\frac{s - s_0}{t} = \frac{vt}{t}$

После сокращения $t$ в правой части получаем:

$\frac{s - s_0}{t} = v$

4. Запишем итоговую формулу, поменяв местами левую и правую части для стандартного вида:

$v = \frac{s - s_0}{t}$

Ответ: $v = \frac{s - s_0}{t}$.

6. Используя основное свойство дроби, заменить букву а алгебраическим или числовым выражением так, чтобы равенство было верным:

1) ${-3 \over 11} = -{a \over 33}$;

2) $-{c \over b} = {c^2 \over a}$;

3) ${-xy \over x^2z} = -{y \over a}$;

4) ${m^3n \over mn} = {a \over 4}$.

Основное свойство дроби заключается в том, что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же ненулевое выражение, то значение дроби не изменится. Другими словами, $\frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C}$ при $C \neq 0$. Также для решения можно использовать свойство пропорции: если $\frac{A}{B} = \frac{C}{D}$, то $A \cdot D = B \cdot C$.

1) $\frac{-3}{11} = \frac{a}{33}$

Чтобы равенство было верным, обе дроби должны быть равны. Заметим, что знаменатель второй дроби (33) в 3 раза больше знаменателя первой дроби (11), так как $33 = 11 \cdot 3$. Согласно основному свойству дроби, чтобы получить равную дробь, мы должны умножить числитель первой дроби на то же число, то есть на 3.

Таким образом, $a$ должно быть равно произведению числителя первой дроби на 3:

$a = -3 \cdot 3 = -9$.

Проверка: $\frac{-3}{11} = \frac{-9}{33}$. Если сократить правую часть на 3, получим $\frac{-9 \div 3}{33 \div 3} = \frac{-3}{11}$. Равенство верно.

Ответ: $a = -9$.

2) $-\frac{c}{b} = \frac{c^2}{a}$

Перенесем знак минуса в числитель левой дроби: $\frac{-c}{b} = \frac{c^2}{a}$.

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестным умножением):

$(-c) \cdot a = b \cdot c^2$

Чтобы найти $a$, разделим обе части уравнения на $-c$ (при условии, что $c \neq 0$):

$a = \frac{b \cdot c^2}{-c}$

Сократим выражение:

$a = -b \cdot \frac{c^2}{c} = -bc$.

Ответ: $a = -bc$.

3) $\frac{-xy}{x^2z} = \frac{-y}{a}$

Сначала упростим левую дробь, сократив ее на общий множитель $x$ (при условии, что $x \neq 0$):

$\frac{-xy}{x^2z} = \frac{-y \cdot x}{xz \cdot x} = \frac{-y}{xz}$

Теперь равенство выглядит так:

$\frac{-y}{xz} = \frac{-y}{a}$

Поскольку числители обеих дробей равны ($-y$), для того чтобы дроби были равны, их знаменатели также должны быть равны.

$xz = a$

Ответ: $a = xz$.

4) $\frac{m^3n}{mn} = \frac{a}{4}$

Упростим левую часть равенства, сократив дробь на $mn$ (при условии, что $m \neq 0$ и $n \neq 0$):

$\frac{m^3n}{mn} = \frac{m^2 \cdot (mn)}{1 \cdot (mn)} = m^2$

Теперь исходное равенство можно записать в виде:

$m^2 = \frac{a}{4}$

Чтобы выразить $a$, умножим обе части уравнения на 4:

$a = 4m^2$

Ответ: $a = 4m^2$.

7. Показать, что данные две дроби равны:

1) $\frac{6}{7}$ и $\frac{18}{21}$;

2) $\frac{-3}{5}$ и $\frac{27}{-45}$;

3) $\frac{2}{3}$ и $\frac{2a}{3a}$;

4) $\frac{2a}{7b}$ и $\frac{2a^2b}{7ab^2}$.

1) Чтобы доказать, что дроби $\frac{6}{7}$ и $\frac{18}{21}$ равны, необходимо упростить вторую дробь. Для этого найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя 18 и знаменателя 21.
Число 18 делится на 1, 2, 3, 6, 9, 18.
Число 21 делится на 1, 3, 7, 21.
НОД(18, 21) = 3.
Разделим числитель и знаменатель второй дроби на 3:
$\frac{18}{21} = \frac{18 \div 3}{21 \div 3} = \frac{6}{7}$.
Поскольку $\frac{6}{7} = \frac{6}{7}$, дроби равны.
Ответ: Дроби равны, так как при сокращении дроби $\frac{18}{21}$ на 3 получается дробь $\frac{6}{7}$.

2) Сравним дроби $\frac{-3}{5}$ и $\frac{27}{-45}$.
Вторую дробь можно записать, вынеся знак минуса перед дробью: $\frac{27}{-45} = -\frac{27}{45}$.
Теперь сократим дробь $\frac{27}{45}$. Найдем НОД для 27 и 45.
Число 27 делится на 1, 3, 9, 27.
Число 45 делится на 1, 3, 5, 9, 15, 45.
НОД(27, 45) = 9.
Разделим числитель и знаменатель на 9:
$-\frac{27}{45} = -\frac{27 \div 9}{45 \div 9} = -\frac{3}{5}$.
Дробь $\frac{-3}{5}$ равна дроби $-\frac{3}{5}$, следовательно, исходные дроби равны.
Ответ: Дроби равны, так как $\frac{27}{-45} = -\frac{27}{45} = -\frac{3}{5} = \frac{-3}{5}$.

3) Чтобы показать, что дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{2a}{3a}$ равны, упростим вторую дробь.
Согласно основному свойству дроби, можно разделить ее числитель и знаменатель на один и тот же ненулевой множитель. В данном случае, при условии что $a \neq 0$, мы можем сократить дробь на $a$:
$\frac{2a}{3a} = \frac{2 \cdot a}{3 \cdot a} = \frac{2}{3}$.
После сокращения вторая дробь стала равна первой.
Ответ: Дроби равны (при $a \neq 0$), так как $\frac{2a}{3a}$ после сокращения на $a$ становится $\frac{2}{3}$.

4) Сравним дроби $\frac{2a}{7b}$ и $\frac{2a^2b}{7ab^2}$.
Для доказательства их равенства упростим вторую дробь, сократив общие множители в числителе и знаменателе (при условии, что $a \neq 0$ и $b \neq 0$).
Представим числитель и знаменатель в виде произведения множителей:
$\frac{2a^2b}{7ab^2} = \frac{2 \cdot a \cdot a \cdot b}{7 \cdot a \cdot b \cdot b}$.
Сократим общие множители $a$ и $b$:
$\frac{2 \cdot \cancel{a} \cdot a \cdot \cancel{b}}{7 \cdot \cancel{a} \cdot \cancel{b} \cdot b} = \frac{2a}{7b}$.
В результате упрощения вторая дробь стала равна первой.
Ответ: Дроби равны (при $a \neq 0, b \neq 0$), так как после сокращения дроби $\frac{2a^2b}{7ab^2}$ на $ab$ получается дробь $\frac{2a}{7b}$.

Сократить дробь (8—11).

8.

1) $\frac{-48}{-56}$;

2) $\frac{-64}{-80}$;

3) $\frac{-121}{55}$;

4) $\frac{28}{-14}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{-48}{-56}$, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) для числителя и знаменателя.
Во-первых, так как и числитель, и знаменатель являются отрицательными числами, частное будет положительным: $\frac{-48}{-56} = \frac{48}{56}$.
Найдем НОД для 48 и 56. Разложим оба числа на простые множители:
$48 = 8 \cdot 6 = 2^3 \cdot 2 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3$
$56 = 8 \cdot 7 = 2^3 \cdot 7$
Общий множитель в наибольшей степени это $2^3=8$. Значит, НОД(48, 56) = 8.
Теперь разделим числитель и знаменатель на их НОД:
$\frac{48 \div 8}{56 \div 8} = \frac{6}{7}$.
Ответ: $\frac{6}{7}$

2) Сократим дробь $\frac{-64}{-80}$.
Так как и числитель, и знаменатель отрицательны, дробь положительна: $\frac{-64}{-80} = \frac{64}{80}$.
Найдем НОД для 64 и 80. Разложим числа на простые множители:
$64 = 8 \cdot 8 = 2^6$
$80 = 8 \cdot 10 = 2^3 \cdot 2 \cdot 5 = 2^4 \cdot 5$
Общий множитель в наибольшей степени это $2^4=16$. Значит, НОД(64, 80) = 16.
Разделим числитель и знаменатель на 16:
$\frac{64 \div 16}{80 \div 16} = \frac{4}{5}$.
Ответ: $\frac{4}{5}$

3) Сократим дробь $\frac{-121}{55}$.
В этой дроби числитель отрицательный, а знаменатель положительный, значит, вся дробь будет отрицательной. Знак минус можно вынести перед дробью: $-\frac{121}{55}$.
Найдем НОД для 121 и 55. Разложим числа на простые множители:
$121 = 11 \cdot 11 = 11^2$
$55 = 5 \cdot 11$
НОД(121, 55) = 11.
Разделим числитель и знаменатель на 11:
$-\frac{121 \div 11}{55 \div 11} = -\frac{11}{5}$.
Ответ: $-\frac{11}{5}$

4) Сократим дробь $\frac{28}{-14}$.
Числитель положительный, а знаменатель отрицательный, значит, дробь будет отрицательной: $-\frac{28}{14}$.
В данном случае числитель 28 делится на знаменатель 14 без остатка.
$28 \div 14 = 2$.
Следовательно, дробь равна целому числу.
$\frac{28}{-14} = -2$.
Ответ: $-2$

9. 1) $\frac{6ab}{-4a}$;

2) $\frac{-14c}{49c}$;

3) $\frac{-a^4b}{-ab^3}$;

4) $\frac{3a^2b}{9a^3}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{6ab}{-4a}$, необходимо найти и сократить общие множители в числителе и знаменателе.
1. Сократим числовые коэффициенты 6 и -4. Их наибольший общий делитель равен 2. Разделим числитель и знаменатель на 2: $\frac{6 \div 2}{-4 \div 2} = \frac{3}{-2}$.
2. Сократим переменные. В числителе и знаменателе есть общий множитель $a$. Сократим его (при условии, что $a \neq 0$).
В результате получаем:
$\frac{6ab}{-4a} = \frac{3 \cdot 2 \cdot a \cdot b}{-2 \cdot 2 \cdot a} = \frac{3b}{-2}$
Для удобства знак минус обычно выносят перед дробью или ставят в числитель.
Ответ: $-\frac{3b}{2}$

2) Сократим дробь $\frac{-14c}{49c}$.
1. Найдём наибольший общий делитель для числовых коэффициентов -14 и 49. НОД(14, 49) = 7. Разделим числитель и знаменатель на 7: $\frac{-14 \div 7}{49 \div 7} = \frac{-2}{7}$.
2. В числителе и знаменателе есть общая переменная $c$, которую можно сократить (при условии, что $c \neq 0$).
Получаем:
$\frac{-14c}{49c} = \frac{-2 \cdot 7 \cdot c}{7 \cdot 7 \cdot c} = \frac{-2}{7}$
Ответ: $-\frac{2}{7}$

3) Сократим дробь $\frac{-a^4b}{-ab^3}$.
1. Сначала упростим знак. Деление отрицательного выражения на отрицательное даёт положительное: $\frac{-a^4b}{-ab^3} = \frac{a^4b}{ab^3}$.
2. Теперь сократим переменные, используя правило деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$.
Для переменной $a$: $\frac{a^4}{a} = a^{4-1} = a^3$.
Для переменной $b$: $\frac{b}{b^3} = \frac{b^1}{b^3} = b^{1-3} = b^{-2} = \frac{1}{b^2}$.
3. Объединим полученные результаты (при условии, что $a \neq 0$ и $b \neq 0$):
$\frac{a^3 \cdot 1}{1 \cdot b^2} = \frac{a^3}{b^2}$
Ответ: $\frac{a^3}{b^2}$

4) Сократим дробь $\frac{3a^2b}{9a^3}$.
1. Сократим числовые коэффициенты 3 и 9. Их наибольший общий делитель равен 3: $\frac{3 \div 3}{9 \div 3} = \frac{1}{3}$.
2. Сократим степени с основанием $a$: $\frac{a^2}{a^3} = a^{2-3} = a^{-1} = \frac{1}{a}$.
3. Переменная $b$ находится только в числителе, поэтому она там и остаётся.
4. Объединим все части (при условии, что $a \neq 0$):
$\frac{3a^2b}{9a^3} = \frac{3}{9} \cdot \frac{a^2}{a^3} \cdot b = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{a} \cdot b = \frac{b}{3a}$
Ответ: $\frac{b}{3a}$

10. 1) $\frac{4(m + n)}{5(m + n)}$;

2) $\frac{7a(a - b)}{5(a - b)}$;

3) $\frac{2b(m - n)}{8b(m - n)(m + n)}$;

4) $\frac{3a(a + b)}{9a(a + b)(a - b)}$;

5) $\frac{2(a - b)}{b - a}$;

6) $\frac{5(x - y)}{15(y - x)}$

1) Исходное выражение: $\frac{4(m+n)}{5(m+n)}$.
Чтобы сократить дробь, необходимо найти общие множители в числителе и знаменателе и разделить на них. В данном случае общим множителем является выражение $(m+n)$.
Сократим дробь на $(m+n)$, при условии, что $m+n \neq 0$:
$\frac{4\cancel{(m+n)}}{5\cancel{(m+n)}} = \frac{4}{5}$.
Ответ: $\frac{4}{5}$.

2) Исходное выражение: $\frac{7a(a-b)}{5(a-b)}$.
Общим множителем для числителя и знаменателя является выражение $(a-b)$.
Сократим дробь на $(a-b)$, при условии, что $a-b \neq 0$:
$\frac{7a\cancel{(a-b)}}{5\cancel{(a-b)}} = \frac{7a}{5}$.
Ответ: $\frac{7a}{5}$.

3) Исходное выражение: $\frac{2b(m-n)}{8b(m-n)(m+n)}$.
В числителе и знаменателе есть несколько общих множителей: числовые коэффициенты 2 и 8, переменная $b$ и выражение $(m-n)$. Сократим их последовательно.
1. Сократим числовые коэффициенты: $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
2. Сократим на переменную $b$.
3. Сократим на выражение $(m-n)$.
$\frac{2b(m-n)}{8b(m-n)(m+n)} = \frac{\cancel{2}\cancel{b}\cancel{(m-n)}}{\cancel{8}_4\cancel{b}\cancel{(m-n)}(m+n)} = \frac{1}{4(m+n)}$.
Сокращение возможно при условии, что $b \neq 0$ и $m-n \neq 0$.
Ответ: $\frac{1}{4(m+n)}$.

4) Исходное выражение: $\frac{3a(a+b)}{9a(a+b)(a-b)}$.
Общие множители: числовые коэффициенты 3 и 9, переменная $a$ и выражение $(a+b)$.
1. Сократим числовые коэффициенты: $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
2. Сократим на переменную $a$.
3. Сократим на выражение $(a+b)$.
$\frac{3a(a+b)}{9a(a+b)(a-b)} = \frac{\cancel{3}\cancel{a}\cancel{(a+b)}}{\cancel{9}_3\cancel{a}\cancel{(a+b)}(a-b)} = \frac{1}{3(a-b)}$.
Сокращение возможно при условии, что $a \neq 0$ и $a+b \neq 0$.
Ответ: $\frac{1}{3(a-b)}$.

5) Исходное выражение: $\frac{2(a-b)}{b-a}$.
Заметим, что выражения в числителе $(a-b)$ и в знаменателе $(b-a)$ являются противоположными. Это означает, что $b-a = -(a-b)$. Вынесем $-1$ за скобки в знаменателе.
$\frac{2(a-b)}{b-a} = \frac{2(a-b)}{-(a-b)}$.
Теперь можно сократить дробь на общий множитель $(a-b)$, при условии, что $a-b \neq 0$.
$\frac{2\cancel{(a-b)}}{-\cancel{(a-b)}} = \frac{2}{-1} = -2$.
Ответ: $-2$.

6) Исходное выражение: $\frac{5(x-y)}{15(y-x)}$.
Аналогично предыдущему примеру, выражения $(x-y)$ и $(y-x)$ являются противоположными, так как $y-x = -(x-y)$.
Подставим это в знаменатель:
$\frac{5(x-y)}{15(y-x)} = \frac{5(x-y)}{15 \cdot (-(x-y))} = \frac{5(x-y)}{-15(x-y)}$.
Теперь сократим дробь. Общий множитель в числителе и знаменателе — это $5(x-y)$.
$\frac{\cancel{5}\cancel{(x-y)}}{-\cancel{15}_3\cancel{(x-y)}} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$.
Сокращение возможно при условии, что $x-y \neq 0$.
Ответ: $-\frac{1}{3}$.

11. 1) $\frac{3m(1-x)}{9m^2(x-1)^2}$;

2) $\frac{8a^2b(a-b)}{4a^3b(b-a)^2}$;

3) $\frac{(a-b)^2}{a-b}$;

4) $\frac{m-n}{(n-m)^2}$.

1)

Дано выражение $ \frac{3m(1-x)}{9m^2(x-1)^2} $.

Для упрощения дроби необходимо сократить общие множители. Сначала преобразуем выражение в знаменателе, используя свойство $ (a-b)^2 = (b-a)^2 $. Таким образом, $ (x-1)^2 = (1-x)^2 $.

Подставим это в исходное выражение:

$ \frac{3m(1-x)}{9m^2(1-x)^2} $

Теперь можно сократить дробь. Сокращаем числовые коэффициенты $ \frac{3}{9} = \frac{1}{3} $. Сокращаем переменные $ \frac{m}{m^2} = \frac{1}{m} $. Сокращаем скобки $ \frac{1-x}{(1-x)^2} = \frac{1}{1-x} $.

Перемножая полученные результаты, получаем окончательный вид дроби:

$ \frac{1 \cdot 1 \cdot 1}{3 \cdot m \cdot (1-x)} = \frac{1}{3m(1-x)} $

Ответ: $ \frac{1}{3m(1-x)} $

2)

Рассмотрим выражение $ \frac{8a^2b(a-b)}{4a^3b(b-a)^2} $.

Используем свойство квадрата разности: $ (b-a)^2 = (a-b)^2 $. Перепишем дробь:

$ \frac{8a^2b(a-b)}{4a^3b(a-b)^2} $

Выполним сокращение общих множителей. Сокращаем коэффициенты: $ \frac{8}{4} = 2 $. Сокращаем переменные: $ \frac{a^2}{a^3} = \frac{1}{a} $ и $ \frac{b}{b} = 1 $. Сокращаем выражение в скобках: $ \frac{a-b}{(a-b)^2} = \frac{1}{a-b} $.

Собираем все части вместе:

$ \frac{2 \cdot 1}{a \cdot (a-b)} = \frac{2}{a(a-b)} $

Ответ: $ \frac{2}{a(a-b)} $

3)

Дана дробь $ \frac{(a-b)^2}{a-b} $.

Числитель $ (a-b)^2 $ можно представить как произведение $ (a-b)(a-b) $. Тогда дробь выглядит так:

$ \frac{(a-b)(a-b)}{a-b} $

Сокращаем общий множитель $ (a-b) $ в числителе и знаменателе, предполагая, что $ a \neq b $.

В результате сокращения остается $ a-b $.

Ответ: $ a-b $

4)

Рассмотрим дробь $ \frac{m-n}{(n-m)^2} $.

Воспользуемся свойством $ (a-b)^2 = (b-a)^2 $, чтобы преобразовать знаменатель: $ (n-m)^2 = (m-n)^2 $.

Теперь дробь имеет вид:

$ \frac{m-n}{(m-n)^2} $

Сокращаем дробь на общий множитель $ (m-n) $, что эквивалентно использованию правила степеней $ \frac{x}{x^2} = \frac{1}{x} $.

После сокращения получаем:

$ \frac{1}{m-n} $

Ответ: $ \frac{1}{m-n} $