Номер 7, страница 9 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 1. Алгебраическая дробь. Сокращение дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 7, страница 9.

Условие.

7. Показать, что данные две дроби равны:

1) $\frac{6}{7}$ и $\frac{18}{21}$;

2) $\frac{-3}{5}$ и $\frac{27}{-45}$;

3) $\frac{2}{3}$ и $\frac{2a}{3a}$;

4) $\frac{2a}{7b}$ и $\frac{2a^2b}{7ab^2}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Чтобы доказать, что дроби $\frac{6}{7}$ и $\frac{18}{21}$ равны, необходимо упростить вторую дробь. Для этого найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя 18 и знаменателя 21.
Число 18 делится на 1, 2, 3, 6, 9, 18.
Число 21 делится на 1, 3, 7, 21.
НОД(18, 21) = 3.
Разделим числитель и знаменатель второй дроби на 3:
$\frac{18}{21} = \frac{18 \div 3}{21 \div 3} = \frac{6}{7}$.
Поскольку $\frac{6}{7} = \frac{6}{7}$, дроби равны.
Ответ: Дроби равны, так как при сокращении дроби $\frac{18}{21}$ на 3 получается дробь $\frac{6}{7}$.

2) Сравним дроби $\frac{-3}{5}$ и $\frac{27}{-45}$.
Вторую дробь можно записать, вынеся знак минуса перед дробью: $\frac{27}{-45} = -\frac{27}{45}$.
Теперь сократим дробь $\frac{27}{45}$. Найдем НОД для 27 и 45.
Число 27 делится на 1, 3, 9, 27.
Число 45 делится на 1, 3, 5, 9, 15, 45.
НОД(27, 45) = 9.
Разделим числитель и знаменатель на 9:
$-\frac{27}{45} = -\frac{27 \div 9}{45 \div 9} = -\frac{3}{5}$.
Дробь $\frac{-3}{5}$ равна дроби $-\frac{3}{5}$, следовательно, исходные дроби равны.
Ответ: Дроби равны, так как $\frac{27}{-45} = -\frac{27}{45} = -\frac{3}{5} = \frac{-3}{5}$.

3) Чтобы показать, что дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{2a}{3a}$ равны, упростим вторую дробь.
Согласно основному свойству дроби, можно разделить ее числитель и знаменатель на один и тот же ненулевой множитель. В данном случае, при условии что $a \neq 0$, мы можем сократить дробь на $a$:
$\frac{2a}{3a} = \frac{2 \cdot a}{3 \cdot a} = \frac{2}{3}$.
После сокращения вторая дробь стала равна первой.
Ответ: Дроби равны (при $a \neq 0$), так как $\frac{2a}{3a}$ после сокращения на $a$ становится $\frac{2}{3}$.

4) Сравним дроби $\frac{2a}{7b}$ и $\frac{2a^2b}{7ab^2}$.
Для доказательства их равенства упростим вторую дробь, сократив общие множители в числителе и знаменателе (при условии, что $a \neq 0$ и $b \neq 0$).
Представим числитель и знаменатель в виде произведения множителей:
$\frac{2a^2b}{7ab^2} = \frac{2 \cdot a \cdot a \cdot b}{7 \cdot a \cdot b \cdot b}$.
Сократим общие множители $a$ и $b$:
$\frac{2 \cdot \cancel{a} \cdot a \cdot \cancel{b}}{7 \cdot \cancel{a} \cdot \cancel{b} \cdot b} = \frac{2a}{7b}$.
В результате упрощения вторая дробь стала равна первой.
Ответ: Дроби равны (при $a \neq 0, b \neq 0$), так как после сокращения дроби $\frac{2a^2b}{7ab^2}$ на $ab$ получается дробь $\frac{2a}{7b}$.