Номер 17, страница 10 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

17. 1) $\frac{d^2 - 6d + 9}{d - 3}$;

2) $\frac{b + 7}{b^2 + 14b + 49}$;

3) $\frac{9 - 6a + a^2}{3 - a}$;

4) $\frac{1 - 2p}{1 - 4p + 4p^2}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{d^2 - 6d + 9}{d - 3}$, необходимо разложить числитель на множители.

Числитель $d^2 - 6d + 9$ является полным квадратом разности, который можно свернуть по формуле сокращенного умножения $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a=d$ и $b=3$. Проверим: $d^2 - 2 \cdot d \cdot 3 + 3^2 = d^2 - 6d + 9$.

Следовательно, $d^2 - 6d + 9 = (d-3)^2$.

Подставим полученное выражение обратно в дробь:
$\frac{(d-3)^2}{d-3}$

Теперь сократим дробь на общий множитель $(d-3)$, при условии, что $d-3 \neq 0$, то есть $d \neq 3$.
$\frac{(d-3)^2}{d-3} = \frac{(d-3)(d-3)}{d-3} = d-3$.

Ответ: $d-3$.

2) Чтобы сократить дробь $\frac{b+7}{b^2 + 14b + 49}$, разложим на множители ее знаменатель.

Знаменатель $b^2 + 14b + 49$ является полным квадратом суммы. Воспользуемся формулой $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В данном случае $a=b$ и $b=7$. Проверим: $b^2 + 2 \cdot b \cdot 7 + 7^2 = b^2 + 14b + 49$.

Таким образом, $b^2 + 14b + 49 = (b+7)^2$.

Подставим это выражение в знаменатель дроби:
$\frac{b+7}{(b+7)^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(b+7)$, при условии, что $b+7 \neq 0$, то есть $b \neq -7$.
$\frac{b+7}{(b+7)^2} = \frac{b+7}{(b+7)(b+7)} = \frac{1}{b+7}$.

Ответ: $\frac{1}{b+7}$.

3) Чтобы сократить дробь $\frac{9 - 6a + a^2}{3 - a}$, разложим на множители числитель.

Перепишем числитель $9 - 6a + a^2$ в более привычном виде: $a^2 - 6a + 9$.

Данное выражение является полным квадратом разности по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Здесь $x=a$ и $y=3$, значит $a^2 - 6a + 9 = (a-3)^2$.

Подставим результат в исходную дробь:
$\frac{(a-3)^2}{3 - a}$

Заметим, что выражения $(a-3)$ и $(3-a)$ являются противоположными, то есть $a-3 = -(3-a)$.
Поэтому дробь можно переписать так:
$\frac{(a-3)^2}{-(a-3)} = -(a-3) = 3-a$.

Сокращение возможно при условии, что $3-a \neq 0$, то есть $a \neq 3$.

Ответ: $3-a$.

4) Чтобы сократить дробь $\frac{1-2p}{1-4p+4p^2}$, разложим на множители знаменатель.

Перепишем знаменатель $1-4p+4p^2$ в стандартном виде: $4p^2 - 4p + 1$.

Это выражение является полным квадратом разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a=2p$ и $b=1$. Проверим: $(2p)^2 - 2 \cdot 2p \cdot 1 + 1^2 = 4p^2 - 4p + 1$.

Следовательно, $1-4p+4p^2 = (2p-1)^2$.

Подставим это в нашу дробь:
$\frac{1-2p}{(2p-1)^2}$

Числитель $1-2p$ и основание степени в знаменателе $2p-1$ связаны соотношением: $1-2p = -(2p-1)$.
Перепишем дробь:
$\frac{-(2p-1)}{(2p-1)^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(2p-1)$, при условии, что $2p-1 \neq 0$, то есть $p \neq \frac{1}{2}$.
$\frac{-(2p-1)}{(2p-1)^2} = \frac{-1}{2p-1}$.

Можно представить ответ в другом виде, умножив числитель и знаменатель на $-1$:
$\frac{-1 \cdot (-1)}{(2p-1) \cdot (-1)} = \frac{1}{-2p+1} = \frac{1}{1-2p}$.

Ответ: $\frac{1}{1-2p}$.