Номер 27, страница 14 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 2. Приведение дробей к общему знаменателю. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 27, страница 14.

Условие.

27. 1) $\frac{1}{2p^2}$, $\frac{1}{6pk}$ И $\frac{1}{3k^2}$;

2) $\frac{1}{6b^2}$, $\frac{a^2+b^2}{9a^2b^2}$ И $\frac{3-a}{18ab^2}$;

3) $\frac{2a}{b^2}$, $\frac{4}{15a^2b}$ И $\frac{3}{20a^3b^4}$;

4) $\frac{7}{20x^4y}$, $\frac{31}{6xy^3}$ И $\frac{4}{3x^2y^4}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Даны дроби $ \frac{1}{2p^2} $, $ \frac{1}{6pk} $ и $ \frac{1}{3k^2} $.
Чтобы привести дроби к общему знаменателю, найдем наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей: $ 2p^2 $, $ 6pk $ и $ 3k^2 $.
1. Найдем НОК числовых коэффициентов: НОК(2, 6, 3) = 6.
2. Для каждой переменной выберем наибольшую степень, в которой она встречается в знаменателях: для $ p $ это $ p^2 $, для $ k $ это $ k^2 $.
3. Общий знаменатель равен произведению НОК коэффициентов и переменных в наибольших степенях: $ 6p^2k^2 $.
Теперь приведем каждую дробь к этому знаменателю.
Для дроби $ \frac{1}{2p^2} $ дополнительный множитель равен $ \frac{6p^2k^2}{2p^2} = 3k^2 $. Получаем: $ \frac{1 \cdot 3k^2}{2p^2 \cdot 3k^2} = \frac{3k^2}{6p^2k^2} $.
Для дроби $ \frac{1}{6pk} $ дополнительный множитель равен $ \frac{6p^2k^2}{6pk} = pk $. Получаем: $ \frac{1 \cdot pk}{6pk \cdot pk} = \frac{pk}{6p^2k^2} $.
Для дроби $ \frac{1}{3k^2} $ дополнительный множитель равен $ \frac{6p^2k^2}{3k^2} = 2p^2 $. Получаем: $ \frac{1 \cdot 2p^2}{3k^2 \cdot 2p^2} = \frac{2p^2}{6p^2k^2} $.
Ответ: $ \frac{3k^2}{6p^2k^2} $, $ \frac{pk}{6p^2k^2} $, $ \frac{2p^2}{6p^2k^2} $.

2) Даны дроби $ \frac{1}{6b^2} $, $ \frac{a^2+b^2}{9a^2b^2} $ и $ \frac{3-a}{18ab^2} $.
Найдем НОК знаменателей: $ 6b^2 $, $ 9a^2b^2 $ и $ 18ab^2 $.
1. НОК числовых коэффициентов: НОК(6, 9, 18) = 18.
2. Наибольшая степень для переменной $ a $ - это $ a^2 $, для $ b $ - это $ b^2 $.
3. Общий знаменатель: $ 18a^2b^2 $.
Приведем дроби к общему знаменателю.
Для дроби $ \frac{1}{6b^2} $ дополнительный множитель: $ \frac{18a^2b^2}{6b^2} = 3a^2 $. Получаем: $ \frac{1 \cdot 3a^2}{6b^2 \cdot 3a^2} = \frac{3a^2}{18a^2b^2} $.
Для дроби $ \frac{a^2+b^2}{9a^2b^2} $ дополнительный множитель: $ \frac{18a^2b^2}{9a^2b^2} = 2 $. Получаем: $ \frac{(a^2+b^2) \cdot 2}{9a^2b^2 \cdot 2} = \frac{2(a^2+b^2)}{18a^2b^2} $.
Для дроби $ \frac{3-a}{18ab^2} $ дополнительный множитель: $ \frac{18a^2b^2}{18ab^2} = a $. Получаем: $ \frac{(3-a) \cdot a}{18ab^2 \cdot a} = \frac{a(3-a)}{18a^2b^2} $.
Ответ: $ \frac{3a^2}{18a^2b^2} $, $ \frac{2(a^2+b^2)}{18a^2b^2} $, $ \frac{a(3-a)}{18a^2b^2} $.

3) Даны дроби $ \frac{2a}{b^2} $, $ \frac{4}{15a^2b} $ и $ \frac{3}{20a^3b^4} $.
Найдем НОК знаменателей: $ b^2 $, $ 15a^2b $ и $ 20a^3b^4 $.
1. НОК числовых коэффициентов: НОК(1, 15, 20) = 60.
2. Наибольшая степень для переменной $ a $ - это $ a^3 $, для $ b $ - это $ b^4 $.
3. Общий знаменатель: $ 60a^3b^4 $.
Приведем дроби к общему знаменателю.
Для дроби $ \frac{2a}{b^2} $ дополнительный множитель: $ \frac{60a^3b^4}{b^2} = 60a^3b^2 $. Получаем: $ \frac{2a \cdot 60a^3b^2}{b^2 \cdot 60a^3b^2} = \frac{120a^4b^2}{60a^3b^4} $.
Для дроби $ \frac{4}{15a^2b} $ дополнительный множитель: $ \frac{60a^3b^4}{15a^2b} = 4ab^3 $. Получаем: $ \frac{4 \cdot 4ab^3}{15a^2b \cdot 4ab^3} = \frac{16ab^3}{60a^3b^4} $.
Для дроби $ \frac{3}{20a^3b^4} $ дополнительный множитель: $ \frac{60a^3b^4}{20a^3b^4} = 3 $. Получаем: $ \frac{3 \cdot 3}{20a^3b^4 \cdot 3} = \frac{9}{60a^3b^4} $.
Ответ: $ \frac{120a^4b^2}{60a^3b^4} $, $ \frac{16ab^3}{60a^3b^4} $, $ \frac{9}{60a^3b^4} $.

4) Даны дроби $ \frac{7}{20x^4y} $, $ \frac{31}{6xy^3} $ и $ \frac{4}{3x^2y^4} $.
Найдем НОК знаменателей: $ 20x^4y $, $ 6xy^3 $ и $ 3x^2y^4 $.
1. НОК числовых коэффициентов: НОК(20, 6, 3) = 60.
2. Наибольшая степень для переменной $ x $ - это $ x^4 $, для $ y $ - это $ y^4 $.
3. Общий знаменатель: $ 60x^4y^4 $.
Приведем дроби к общему знаменателю.
Для дроби $ \frac{7}{20x^4y} $ дополнительный множитель: $ \frac{60x^4y^4}{20x^4y} = 3y^3 $. Получаем: $ \frac{7 \cdot 3y^3}{20x^4y \cdot 3y^3} = \frac{21y^3}{60x^4y^4} $.
Для дроби $ \frac{31}{6xy^3} $ дополнительный множитель: $ \frac{60x^4y^4}{6xy^3} = 10x^3y $. Получаем: $ \frac{31 \cdot 10x^3y}{6xy^3 \cdot 10x^3y} = \frac{310x^3y}{60x^4y^4} $.
Для дроби $ \frac{4}{3x^2y^4} $ дополнительный множитель: $ \frac{60x^4y^4}{3x^2y^4} = 20x^2 $. Получаем: $ \frac{4 \cdot 20x^2}{3x^2y^4 \cdot 20x^2} = \frac{80x^2}{60x^4y^4} $.
Ответ: $ \frac{21y^3}{60x^4y^4} $, $ \frac{310x^3y}{60x^4y^4} $, $ \frac{80x^2}{60x^4y^4} $.