Номер 28, страница 14 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 2. Приведение дробей к общему знаменателю. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 28, страница 14.

Условие.

28. 1) $ \frac{1}{x-y} $ и $ \frac{1}{x+y} $;

2) $ \frac{7a}{3x-y} $ и $ \frac{6b}{3x+y} $;

3) $ \frac{5}{2x-2} $ и $ \frac{3}{4x-4} $;

4) $ \frac{3x}{4x+4y} $ и $ \frac{x}{8x+8y} $.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Для того чтобы привести дроби $\frac{1}{x-y}$ и $\frac{1}{x+y}$ к общему знаменателю, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей. Знаменатели $(x-y)$ и $(x+y)$ являются взаимно простыми выражениями, так как не имеют общих множителей. Следовательно, их наименьший общий знаменатель равен их произведению.
Общий знаменатель: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ (по формуле разности квадратов).
Теперь приведем каждую дробь к этому знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{1}{x-y}$ равен $(x+y)$: $\frac{1}{x-y} = \frac{1 \cdot (x+y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{x+y}{x^2 - y^2}$.
Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{1}{x+y}$ равен $(x-y)$: $\frac{1}{x+y} = \frac{1 \cdot (x-y)}{(x+y)(x-y)} = \frac{x-y}{x^2 - y^2}$.

Ответ: $\frac{x+y}{x^2 - y^2}$ и $\frac{x-y}{x^2 - y^2}$.

2)

Рассмотрим дроби $\frac{7a}{3x-y}$ и $\frac{6b}{3x+y}$. Знаменатели $(3x-y)$ и $(3x+y)$ не имеют общих множителей. Их наименьший общий знаменатель будет равен их произведению.
Общий знаменатель: $(3x-y)(3x+y) = (3x)^2 - y^2 = 9x^2 - y^2$.
Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби равен $(3x+y)$: $\frac{7a}{3x-y} = \frac{7a(3x+y)}{(3x-y)(3x+y)} = \frac{21ax + 7ay}{9x^2 - y^2}$.
Дополнительный множитель для второй дроби равен $(3x-y)$: $\frac{6b}{3x+y} = \frac{6b(3x-y)}{(3x+y)(3x-y)} = \frac{18bx - 6by}{9x^2 - y^2}$.

Ответ: $\frac{21ax + 7ay}{9x^2 - y^2}$ и $\frac{18bx - 6by}{9x^2 - y^2}$.

3)

Даны дроби $\frac{5}{2x-2}$ и $\frac{3}{4x-4}$. Для нахождения общего знаменателя сначала разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби: $2x-2 = 2(x-1)$.
Знаменатель второй дроби: $4x-4 = 4(x-1)$.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) — это наименьшее общее кратное выражений $2(x-1)$ и $4(x-1)$. НОК для числовых коэффициентов 2 и 4 равно 4. Общий множитель $(x-1)$ берется в первой степени. Таким образом, НОЗ = $4(x-1)$.
Приведем первую дробь к этому знаменателю. Дополнительный множитель для нее: $\frac{4(x-1)}{2(x-1)} = 2$. $\frac{5}{2(x-1)} = \frac{5 \cdot 2}{2(x-1) \cdot 2} = \frac{10}{4(x-1)}$.
Знаменатель второй дроби уже является наименьшим общим знаменателем, поэтому она остается без изменений: $\frac{3}{4x-4} = \frac{3}{4(x-1)}$.

Ответ: $\frac{10}{4(x-1)}$ и $\frac{3}{4(x-1)}$.

4)

Даны дроби $\frac{3x}{4x+4y}$ и $\frac{x}{8x+8y}$. Разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби: $4x+4y = 4(x+y)$.
Знаменатель второй дроби: $8x+8y = 8(x+y)$.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для $4(x+y)$ и $8(x+y)$ находится как НОК коэффициентов и общих буквенных множителей. НОК(4, 8) = 8. Общий множитель $(x+y)$. Следовательно, НОЗ = $8(x+y)$.
Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{8(x+y)}{4(x+y)} = 2$. $\frac{3x}{4(x+y)} = \frac{3x \cdot 2}{4(x+y) \cdot 2} = \frac{6x}{8(x+y)}$.
Вторая дробь уже имеет наименьший общий знаменатель, поэтому ее преобразовывать не нужно: $\frac{x}{8x+8y} = \frac{x}{8(x+y)}$.

Ответ: $\frac{6x}{8(x+y)}$ и $\frac{x}{8(x+y)}$.