Номер 34, страница 15 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 2. Приведение дробей к общему знаменателю. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 34, страница 15.

Условие.

34. Привести дроби к общему знаменателю:

1) $\frac{5a}{a^3 - 27}$, $\frac{a - 3}{a^2 + 3a + 9}$ и $\frac{1}{a - 3}$;

2) $\frac{3}{x + 2}$, $\frac{x + 1}{x^3 + 8}$ и $\frac{x + 2}{x^2 - 2x + 4}$;

3) $\frac{2m}{(m - n)^3}$, $\frac{2n}{(m - n)^2}$ и $\frac{1}{m^2 - n^2}$;

4) $\frac{1}{k^3 + 3k^2 + 3k + 1}$, $\frac{2}{k^2 - 1}$ и $\frac{3}{k^2 + 2k + 1}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Чтобы привести дроби к общему знаменателю, сначала разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби: $a^3 - 27$. Это формула разности кубов: $a^3 - 3^3 = (a - 3)(a^2 + 3a + 9)$.
Знаменатель второй дроби: $a^2 + 3a + 9$. Это неполный квадрат суммы, который не раскладывается на множители в действительных числах.
Знаменатель третьей дроби: $a - 3$.
Наименьшим общим знаменателем (НОЗ) будет произведение всех уникальных множителей в их наивысшей степени. В данном случае НОЗ = $(a - 3)(a^2 + 3a + 9) = a^3 - 27$.
Теперь найдем дополнительные множители для каждой дроби и приведем их к общему знаменателю:
Для дроби $\frac{5a}{a^3 - 27}$ знаменатель уже является общим, поэтому дополнительный множитель равен 1. Дробь остается $\frac{5a}{a^3 - 27}$.
Для дроби $\frac{a - 3}{a^2 + 3a + 9}$ дополнительный множитель равен $(a - 3)$. Умножим числитель и знаменатель на него: $\frac{(a - 3)(a - 3)}{(a^2 + 3a + 9)(a - 3)} = \frac{(a-3)^2}{a^3 - 27} = \frac{a^2 - 6a + 9}{a^3 - 27}$.
Для дроби $\frac{1}{a - 3}$ дополнительный множитель равен $(a^2 + 3a + 9)$. Умножим числитель и знаменатель на него: $\frac{1 \cdot (a^2 + 3a + 9)}{(a - 3)(a^2 + 3a + 9)} = \frac{a^2 + 3a + 9}{a^3 - 27}$.
Ответ: $\frac{5a}{a^3 - 27}$, $\frac{a^2 - 6a + 9}{a^3 - 27}$, $\frac{a^2 + 3a + 9}{a^3 - 27}$.

2) Разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби: $x + 2$.
Знаменатель второй дроби: $x^3 + 8$. Это формула суммы кубов: $x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$.
Знаменатель третьей дроби: $x^2 - 2x + 4$. Это неполный квадрат разности.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен $(x + 2)(x^2 - 2x + 4) = x^3 + 8$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
Для дроби $\frac{3}{x + 2}$ дополнительный множитель равен $(x^2 - 2x + 4)$. Получаем: $\frac{3(x^2 - 2x + 4)}{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)} = \frac{3x^2 - 6x + 12}{x^3 + 8}$.
Для дроби $\frac{x + 1}{x^3 + 8}$ знаменатель уже является общим. Дробь остается $\frac{x + 1}{x^3 + 8}$.
Для дроби $\frac{x + 2}{x^2 - 2x + 4}$ дополнительный множитель равен $(x + 2)$. Получаем: $\frac{(x + 2)(x + 2)}{(x^2 - 2x + 4)(x + 2)} = \frac{(x + 2)^2}{x^3 + 8} = \frac{x^2 + 4x + 4}{x^3 + 8}$.
Ответ: $\frac{3x^2 - 6x + 12}{x^3 + 8}$, $\frac{x + 1}{x^3 + 8}$, $\frac{x^2 + 4x + 4}{x^3 + 8}$.

3) Разложим знаменатели на множители.
Знаменатель первой дроби: $(m - n)^3$.
Знаменатель второй дроби: $(m - n)^2$.
Знаменатель третьей дроби: $m^2 - n^2$. Это формула разности квадратов: $(m - n)(m + n)$.
Для нахождения НОЗ берем каждый множитель в наибольшей степени, в которой он встречается. НОЗ = $(m - n)^3(m + n)$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
Для дроби $\frac{2m}{(m - n)^3}$ дополнительный множитель равен $(m + n)$. Получаем: $\frac{2m(m + n)}{(m - n)^3(m + n)} = \frac{2m^2 + 2mn}{(m - n)^3(m + n)}$.
Для дроби $\frac{2n}{(m - n)^2}$ дополнительный множитель равен $(m - n)(m + n)$. Получаем: $\frac{2n(m - n)(m + n)}{(m - n)^2(m - n)(m + n)} = \frac{2n(m^2 - n^2)}{(m - n)^3(m + n)} = \frac{2nm^2 - 2n^3}{(m - n)^3(m + n)}$.
Для дроби $\frac{1}{m^2 - n^2} = \frac{1}{(m - n)(m + n)}$ дополнительный множитель равен $(m - n)^2$. Получаем: $\frac{1 \cdot (m - n)^2}{(m - n)(m + n)(m - n)^2} = \frac{m^2 - 2mn + n^2}{(m - n)^3(m + n)}$.
Ответ: $\frac{2m^2 + 2mn}{(m - n)^3(m + n)}$, $\frac{2nm^2 - 2n^3}{(m - n)^3(m + n)}$, $\frac{m^2 - 2mn + n^2}{(m - n)^3(m + n)}$.

4) Разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения.
Знаменатель первой дроби: $k^3 + 3k^2 + 3k + 1$. Это формула куба суммы: $(k + 1)^3$.
Знаменатель второй дроби: $k^2 - 1$. Это формула разности квадратов: $(k - 1)(k + 1)$.
Знаменатель третьей дроби: $k^2 + 2k + 1$. Это формула квадрата суммы: $(k + 1)^2$.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен произведению множителей $(k-1)$ и $(k+1)$ в их наивысших степенях: $(k - 1)(k + 1)^3$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
Для дроби $\frac{1}{(k + 1)^3}$ дополнительный множитель равен $(k - 1)$. Получаем: $\frac{1 \cdot (k - 1)}{(k + 1)^3(k - 1)} = \frac{k - 1}{(k + 1)^3(k - 1)}$.
Для дроби $\frac{2}{(k - 1)(k + 1)}$ дополнительный множитель равен $(k + 1)^2$. Получаем: $\frac{2(k + 1)^2}{(k - 1)(k + 1)(k + 1)^2} = \frac{2(k^2 + 2k + 1)}{(k + 1)^3(k - 1)} = \frac{2k^2 + 4k + 2}{(k + 1)^3(k - 1)}$.
Для дроби $\frac{3}{(k + 1)^2}$ дополнительный множитель равен $(k - 1)(k + 1) = k^2 - 1$. Получаем: $\frac{3(k - 1)(k + 1)}{(k + 1)^2(k - 1)(k + 1)} = \frac{3(k^2 - 1)}{(k + 1)^3(k - 1)} = \frac{3k^2 - 3}{(k + 1)^3(k - 1)}$.
Ответ: $\frac{k - 1}{(k + 1)^3(k - 1)}$, $\frac{2k^2 + 4k + 2}{(k + 1)^3(k - 1)}$, $\frac{3k^2 - 3}{(k + 1)^3(k - 1)}$.