Номер 3, страница 18 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Вводные упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 3, страница 18.

Условие.

3. Привести к общему знаменателю дроби:

1) $\frac{1}{6x^2}$ и $\frac{1}{4x}$;

2) $\frac{1}{3x^2y}$, $\frac{1}{12xy^2}$ и $\frac{1}{18x^2y^3}$;

3) $\frac{1}{(x+y)^2}$ и $\frac{1}{(x+y)^3}$;

4) $\frac{1}{a-b}$ и $\frac{1}{b-a}$;

5) $\frac{1}{4x^2-1}$ и $\frac{1}{1+2x}$.

Решение 4.

1) Привести к общему знаменателю дроби $\frac{1}{6x^2}$ и $\frac{1}{4x}$.

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, необходимо найти их наименьший общий знаменатель (НОЗ). НОЗ является наименьшим общим кратным (НОК) знаменателей $6x^2$ и $4x$.

1. Находим НОК для числовых коэффициентов 6 и 4. Разложим их на простые множители: $6 = 2 \cdot 3$, $4 = 2^2$. НОК(6, 4) = $2^2 \cdot 3 = 12$.

2. Находим НОК для переменных частей $x^2$ и $x$. Для этого выбираем каждую переменную с наибольшим показателем степени. В данном случае это $x^2$.

3. Наименьший общий знаменатель равен произведению НОК коэффициентов и НОК переменных: $12x^2$.

Теперь определим дополнительные множители для каждой дроби, разделив НОЗ на знаменатель каждой дроби.

Для дроби $\frac{1}{6x^2}$ дополнительный множитель равен $\frac{12x^2}{6x^2} = 2$.

Умножим числитель и знаменатель первой дроби на этот множитель:

$\frac{1}{6x^2} = \frac{1 \cdot 2}{6x^2 \cdot 2} = \frac{2}{12x^2}$.

Для дроби $\frac{1}{4x}$ дополнительный множитель равен $\frac{12x^2}{4x} = 3x$.

Умножим числитель и знаменатель второй дроби на этот множитель:

$\frac{1}{4x} = \frac{1 \cdot 3x}{4x \cdot 3x} = \frac{3x}{12x^2}$.

Ответ: $\frac{2}{12x^2}$ и $\frac{3x}{12x^2}$.

2) Привести к общему знаменателю дроби $\frac{1}{3x^2y}$, $\frac{1}{12xy^2}$ и $\frac{1}{18x^2y^3}$.

Найдем наименьший общий знаменатель для знаменателей $3x^2y$, $12xy^2$ и $18x^2y^3$.

1. Находим НОК числовых коэффициентов 3, 12 и 18. Разложим их на простые множители: $3 = 3$, $12 = 2^2 \cdot 3$, $18 = 2 \cdot 3^2$. НОК(3, 12, 18) = $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.

2. Находим НОК для переменных частей. Для переменной $x$ наибольшая степень $x^2$. Для переменной $y$ наибольшая степень $y^3$. НОК переменных частей равно $x^2y^3$.

3. Наименьший общий знаменатель равен $36x^2y^3$.

Найдем дополнительные множители для каждой дроби:

Для $\frac{1}{3x^2y}$: $\frac{36x^2y^3}{3x^2y} = 12y^2$. Тогда $\frac{1 \cdot 12y^2}{3x^2y \cdot 12y^2} = \frac{12y^2}{36x^2y^3}$.

Для $\frac{1}{12xy^2}$: $\frac{36x^2y^3}{12xy^2} = 3xy$. Тогда $\frac{1 \cdot 3xy}{12xy^2 \cdot 3xy} = \frac{3xy}{36x^2y^3}$.

Для $\frac{1}{18x^2y^3}$: $\frac{36x^2y^3}{18x^2y^3} = 2$. Тогда $\frac{1 \cdot 2}{18x^2y^3 \cdot 2} = \frac{2}{36x^2y^3}$.

Ответ: $\frac{12y^2}{36x^2y^3}$, $\frac{3xy}{36x^2y^3}$ и $\frac{2}{36x^2y^3}$.

3) Привести к общему знаменателю дроби $\frac{1}{(x+y)^2}$ и $\frac{1}{(x+y)^3}$.

Знаменатели дробей представляют собой степени одного и того же выражения $(x+y)$.

В качестве общего знаменателя выбираем выражение с наибольшим показателем степени. В данном случае это $(x+y)^3$.

Найдем дополнительные множители:

Для дроби $\frac{1}{(x+y)^2}$ дополнительный множитель: $\frac{(x+y)^3}{(x+y)^2} = x+y$.

Умножим числитель и знаменатель: $\frac{1 \cdot (x+y)}{(x+y)^2 \cdot (x+y)} = \frac{x+y}{(x+y)^3}$.

Для дроби $\frac{1}{(x+y)^3}$ знаменатель уже является общим, поэтому дополнительный множитель равен 1. Дробь остается без изменений.

Ответ: $\frac{x+y}{(x+y)^3}$ и $\frac{1}{(x+y)^3}$.

4) Привести к общему знаменателю дроби $\frac{1}{a-b}$ и $\frac{1}{b-a}$.

Знаменатели $a-b$ и $b-a$ являются противоположными выражениями, так как $b-a = -(a-b)$.

Можно привести дроби к общему знаменателю $a-b$. Первая дробь $\frac{1}{a-b}$ уже имеет такой знаменатель.

Преобразуем вторую дробь. Вынесем -1 за скобки в знаменателе:

$\frac{1}{b-a} = \frac{1}{-(a-b)}$.

Перенесем знак "минус" из знаменателя в числитель:

$\frac{1}{-(a-b)} = -\frac{1}{a-b} = \frac{-1}{a-b}$.

Теперь обе дроби приведены к общему знаменателю $a-b$.

Ответ: $\frac{1}{a-b}$ и $\frac{-1}{a-b}$.

5) Привести к общему знаменателю дроби $\frac{1}{4x^2-1}$ и $\frac{1}{1+2x}$.

Для нахождения общего знаменателя разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби $4x^2-1$ является разностью квадратов $(2x)^2 - 1^2$.

Используем формулу $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$4x^2-1 = (2x-1)(2x+1)$.

Знаменатель второй дроби: $1+2x$, что то же самое, что и $2x+1$.

Итак, знаменатели дробей: $(2x-1)(2x+1)$ и $(2x+1)$.

Наименьший общий знаменатель должен содержать все множители в их наивысшей степени. Таким образом, НОЗ равен $(2x-1)(2x+1)$, что равно $4x^2-1$.

Первая дробь $\frac{1}{4x^2-1}$ уже имеет нужный знаменатель.

Для второй дроби $\frac{1}{1+2x}$ дополнительный множитель равен $\frac{(2x-1)(2x+1)}{2x+1} = 2x-1$.

Умножим числитель и знаменатель второй дроби на $(2x-1)$:

$\frac{1}{1+2x} = \frac{1 \cdot (2x-1)}{(1+2x)(2x-1)} = \frac{2x-1}{4x^2-1}$.

Ответ: $\frac{1}{4x^2-1}$ и $\frac{2x-1}{4x^2-1}$.