Номер 35, страница 15 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 2. Приведение дробей к общему знаменателю. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 35, страница 15.

Условие.

35. Пусть $n$ — натуральное число. Найти общий знаменатель дробей:

1) $ \frac{1}{x^{4n} - y^{4n}} $, $ \frac{1}{x^{2n} - y^{2n}} $ и $ \frac{1}{x^n - y^n} $

2) $ \frac{1}{a^{2n} - b^{2n}} $, $ \frac{1}{a^n - b^n} $ и $ \frac{1}{a^n + b^n} $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Чтобы найти общий знаменатель для дробей $ \frac{1}{x^{4n} - y^{4n}} $, $ \frac{1}{x^{2n} - y^{2n}} $ и $ \frac{1}{x^n - y^n} $, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей. Для этого разложим каждый знаменатель на множители, применяя формулу разности квадратов $ A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) $.

Разложим первый знаменатель:
$ x^{4n} - y^{4n} = (x^{2n})^2 - (y^{2n})^2 = (x^{2n} - y^{2n})(x^{2n} + y^{2n}) $.

Разложим второй знаменатель, который также является множителем в первом:
$ x^{2n} - y^{2n} = (x^n)^2 - (y^n)^2 = (x^n - y^n)(x^n + y^n) $.

Таким образом, мы видим, что:
Знаменатель первой дроби: $ x^{4n} - y^{4n} = (x^{2n} - y^{2n})(x^{2n} + y^{2n}) = (x^n - y^n)(x^n + y^n)(x^{2n} + y^{2n}) $.
Знаменатель второй дроби: $ x^{2n} - y^{2n} = (x^n - y^n)(x^n + y^n) $.
Знаменатель третьей дроби: $ x^n - y^n $.

Наименьший общий знаменатель должен содержать все множители каждого знаменателя. Мы видим, что второй и третий знаменатели являются делителями первого знаменателя. Следовательно, наименьший общий знаменатель равен первому знаменателю.

Ответ: $ x^{4n} - y^{4n} $.

2) Чтобы найти общий знаменатель для дробей $ \frac{1}{a^{2n} - b^{2n}} $, $ \frac{1}{a^n - b^n} $ и $ \frac{1}{a^n + b^n} $, найдем НОК их знаменателей.

Разложим первый знаменатель на множители по формуле разности квадратов:
$ a^{2n} - b^{2n} = (a^n)^2 - (b^n)^2 = (a^n - b^n)(a^n + b^n) $.

Сравним знаменатели:
Знаменатель первой дроби: $ a^{2n} - b^{2n} = (a^n - b^n)(a^n + b^n) $.
Знаменатель второй дроби: $ a^n - b^n $.
Знаменатель третьей дроби: $ a^n + b^n $.

Первый знаменатель является произведением второго и третьего знаменателей. Это означает, что он делится нацело и на второй, и на третий знаменатели. Таким образом, он и является их наименьшим общим кратным.

Ответ: $ a^{2n} - b^{2n} $.