Номер 45, страница 19 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 45, страница 19.

Условие.

45. 1) $\frac{3}{a+2} + \frac{2a}{(a+2)^2}$;

2) $\frac{7}{(a-b)^2} - \frac{5}{b-a}$;

3) $\frac{4}{(m-n)^2} - \frac{7}{n-m}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) $\frac{3}{a+2} + \frac{2a}{(a+2)^2}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Общим знаменателем является $(a+2)^2$.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(a+2)$:
$\frac{3}{a+2} = \frac{3(a+2)}{(a+2)(a+2)} = \frac{3a+6}{(a+2)^2}$

Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{3a+6}{(a+2)^2} + \frac{2a}{(a+2)^2} = \frac{3a+6+2a}{(a+2)^2} = \frac{5a+6}{(a+2)^2}$

Ответ: $\frac{5a+6}{(a+2)^2}$

2) $\frac{7}{(a-b)^2} - \frac{5}{b-a}$

Заметим, что $b-a = -(a-b)$. Используем это свойство, чтобы привести знаменатели к общему виду:

$\frac{5}{b-a} = \frac{5}{-(a-b)} = -\frac{5}{a-b}$

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{7}{(a-b)^2} - (-\frac{5}{a-b}) = \frac{7}{(a-b)^2} + \frac{5}{a-b}$

Общий знаменатель дробей — $(a-b)^2$. Домножим вторую дробь на $(a-b)$:

$\frac{5}{a-b} = \frac{5(a-b)}{(a-b)^2} = \frac{5a-5b}{(a-b)^2}$

Теперь выполним сложение:

$\frac{7}{(a-b)^2} + \frac{5a-5b}{(a-b)^2} = \frac{7+5a-5b}{(a-b)^2}$

Ответ: $\frac{5a-5b+7}{(a-b)^2}$

3) $\frac{4}{(m-n)^2} - \frac{7}{n-m}$

Преобразуем знаменатель второй дроби: $n-m = -(m-n)$.

$\frac{7}{n-m} = \frac{7}{-(m-n)} = -\frac{7}{m-n}$

Выражение примет вид:

$\frac{4}{(m-n)^2} - (-\frac{7}{m-n}) = \frac{4}{(m-n)^2} + \frac{7}{m-n}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(m-n)^2$. Для этого домножим вторую дробь на $(m-n)$:

$\frac{7}{m-n} = \frac{7(m-n)}{(m-n)^2} = \frac{7m-7n}{(m-n)^2}$

Сложим полученные дроби:

$\frac{4}{(m-n)^2} + \frac{7m-7n}{(m-n)^2} = \frac{4+7m-7n}{(m-n)^2}$

Ответ: $\frac{7m-7n+4}{(m-n)^2}$