Номер 51, страница 20 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 51, страница 20.

Условие.

51. Найти разность дробей:

1) $\frac{a+1}{a^3-1} - \frac{1}{a^2+a+1};$

2) $\frac{a^2+4}{a^3+8} - \frac{1}{a+2};$

3) $\frac{a+b}{a^2-ab+b^2} - \frac{1}{a+b};$

4) $\frac{m^2-3m+9}{m^3-27} - \frac{1}{m-3}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) $\frac{a+1}{a^3-1} - \frac{1}{a^2+a+1}$

Чтобы найти разность дробей, приведем их к общему знаменателю. Знаменатель первой дроби — это формула разности кубов: $a^3-1 = (a-1)(a^2+a+1)$. Знаменатель второй дроби — $a^2+a+1$. Следовательно, наименьший общий знаменатель равен $(a-1)(a^2+a+1) = a^3-1$.

Домножим числитель и знаменатель второй дроби на дополнительный множитель $(a-1)$:
$\frac{1}{a^2+a+1} = \frac{1 \cdot (a-1)}{(a^2+a+1)(a-1)} = \frac{a-1}{a^3-1}$.

Теперь выполним вычитание дробей:
$\frac{a+1}{a^3-1} - \frac{a-1}{a^3-1} = \frac{(a+1) - (a-1)}{a^3-1}$.

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:
$\frac{a+1 - a + 1}{a^3-1} = \frac{2}{a^3-1}$.

Ответ: $\frac{2}{a^3-1}$.

2) $\frac{a^2+4}{a^3+8} - \frac{1}{a+2}$

Для вычитания приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатель первой дроби — это формула суммы кубов: $a^3+8 = a^3+2^3 = (a+2)(a^2-2a+4)$. Знаменатель второй дроби — $a+2$. Общим знаменателем будет выражение $(a+2)(a^2-2a+4) = a^3+8$.

Домножим вторую дробь на недостающий множитель $(a^2-2a+4)$:
$\frac{1}{a+2} = \frac{1 \cdot (a^2-2a+4)}{(a+2)(a^2-2a+4)} = \frac{a^2-2a+4}{a^3+8}$.

Выполним вычитание:
$\frac{a^2+4}{a^3+8} - \frac{a^2-2a+4}{a^3+8} = \frac{(a^2+4) - (a^2-2a+4)}{a^3+8}$.

Упростим числитель:
$\frac{a^2+4 - a^2+2a-4}{a^3+8} = \frac{2a}{a^3+8}$.

Ответ: $\frac{2a}{a^3+8}$.

3) $\frac{a+b}{a^2-ab+b^2} - \frac{1}{a+b}$

Найдем общий знаменатель. Заметим, что знаменатели являются множителями в формуле суммы кубов: $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$. Следовательно, общий знаменатель — это $(a+b)(a^2-ab+b^2)$.

Домножим первую дробь на $(a+b)$, а вторую на $(a^2-ab+b^2)$:
$\frac{(a+b)(a+b)}{(a^2-ab+b^2)(a+b)} - \frac{1 \cdot (a^2-ab+b^2)}{(a+b)(a^2-ab+b^2)} = \frac{(a+b)^2 - (a^2-ab+b^2)}{a^3+b^3}$.

Раскроем скобки в числителе, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:
$\frac{(a^2+2ab+b^2) - (a^2-ab+b^2)}{a^3+b^3}$.

Упростим выражение в числителе:
$\frac{a^2+2ab+b^2 - a^2+ab-b^2}{a^3+b^3} = \frac{3ab}{a^3+b^3}$.

Ответ: $\frac{3ab}{a^3+b^3}$.

4) $\frac{m^2-3m+9}{m^3-27} - \frac{1}{m-3}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатель первой дроби — это разность кубов: $m^3-27 = m^3-3^3 = (m-3)(m^2+3m+9)$. Знаменатель второй дроби — $m-3$. Общий знаменатель: $(m-3)(m^2+3m+9) = m^3-27$.

Домножим числитель и знаменатель второй дроби на дополнительный множитель $(m^2+3m+9)$:
$\frac{1}{m-3} = \frac{1 \cdot (m^2+3m+9)}{(m-3)(m^2+3m+9)} = \frac{m^2+3m+9}{m^3-27}$.

Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
$\frac{m^2-3m+9}{m^3-27} - \frac{m^2+3m+9}{m^3-27} = \frac{(m^2-3m+9) - (m^2+3m+9)}{m^3-27}$.

Упростим числитель:
$\frac{m^2-3m+9 - m^2-3m-9}{m^3-27} = \frac{-6m}{m^3-27}$.

Ответ: $\frac{-6m}{m^3-27}$.