Номер 1, страница 23 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 4. Умножение и деление алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 1, страница 23.

Условие.

1. Сформулировать правила умножения и деления алгебраических дробей.

Решение 4.

Правило умножения алгебраических дробей

Чтобы умножить алгебраические дроби, необходимо перемножить их числители и перемножить их знаменатели. Результат произведения числителей становится числителем новой дроби, а результат произведения знаменателей — её знаменателем.

Формула умножения алгебраических дробей в общем виде:
$ \frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D} $
Здесь $A$, $B$, $C$ и $D$ — это многочлены, причём $B \neq 0$ и $D \neq 0$.

Порядок действий при умножении:

1. Разложить на множители числители и знаменатели всех дробей.
2. Записать произведение числителей в числитель новой дроби, а произведение знаменателей — в её знаменатель.
3. Сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе.
4. Записать итоговый результат.

Пример: Умножить дроби $ \frac{a^2-1}{a^2-ab} $ и $ \frac{a-b}{a^2+a} $.
$ \frac{a^2-1}{a^2-ab} \cdot \frac{a-b}{a^2+a} = \frac{(a-1)(a+1)}{a(a-b)} \cdot \frac{a-b}{a(a+1)} = \frac{(a-1)(a+1)(a-b)}{a(a-b)a(a+1)} $
Сокращаем общие множители $(a+1)$ и $(a-b)$:
$ \frac{(a-1)\cancel{(a+1)}\cancel{(a-b)}}{a\cancel{(a-b)}a\cancel{(a+1)}} = \frac{a-1}{a \cdot a} = \frac{a-1}{a^2} $

Ответ: Произведением двух алгебраических дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей исходных дробей.

Правило деления алгебраических дробей

Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно первую дробь (делимое) умножить на дробь, обратную второй дроби (делителю). Чтобы получить обратную дробь, нужно поменять местами её числитель и знаменатель.

Формула деления алгебраических дробей в общем виде:
$ \frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{A \cdot D}{B \cdot C} $
Здесь $A$, $B$, $C$ и $D$ — это многочлены, причём $B \neq 0$, $D \neq 0$ и $C \neq 0$ (так как на ноль делить нельзя).

Таким образом, операция деления сводится к операции умножения, после чего выполняются те же шаги: разложение на множители и сокращение.

Пример: Разделить дробь $ \frac{x^2+2x+1}{x^2-9} $ на дробь $ \frac{x+1}{x-3} $.
1. Заменяем деление на умножение, переворачивая вторую дробь:
$ \frac{x^2+2x+1}{x^2-9} : \frac{x+1}{x-3} = \frac{x^2+2x+1}{x^2-9} \cdot \frac{x-3}{x+1} $
2. Раскладываем числители и знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения:
$ \frac{(x+1)^2}{(x-3)(x+3)} \cdot \frac{x-3}{x+1} = \frac{(x+1)(x+1)(x-3)}{(x-3)(x+3)(x+1)} $
3. Сокращаем общие множители $(x+1)$ и $(x-3)$:
$ \frac{\cancel{(x+1)}(x+1)\cancel{(x-3)}}{\cancel{(x-3)}(x+3)\cancel{(x+1)}} = \frac{x+1}{x+3} $

Ответ: Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, необходимо делимое умножить на дробь, обратную делителю.