Номер 47, страница 19 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 47, страница 19.

Условие.

47. 1) $\frac{7a-1}{2a^2+6a} + \frac{5-3a}{a^2-9};$

2) $\frac{6}{3x+3y} + \frac{8x}{4x^2-4y^2};$

3) $\frac{3a-b}{a^2-b^2} - \frac{a}{a^2-ab};$

4) $\frac{3a}{4a^2-1} - \frac{a+1}{2a^2+a};$

5) $\frac{b-1}{(b+3)^2} - \frac{b}{b^2-9};$

6) $\frac{a-3}{a^2-4} - \frac{a}{(a-2)^2}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) $\frac{7a-1}{2a^2+6a} + \frac{5-3a}{a^2-9}$

Сначала разложим знаменатели на множители:

$2a^2+6a = 2a(a+3)$

$a^2-9 = (a-3)(a+3)$

Общий знаменатель будет $2a(a+3)(a-3)$.

Приводим дроби к общему знаменателю:

$\frac{(7a-1)(a-3)}{2a(a+3)(a-3)} + \frac{(5-3a) \cdot 2a}{2a(a+3)(a-3)}$

Складываем числители:

$\frac{(7a-1)(a-3) + 2a(5-3a)}{2a(a+3)(a-3)} = \frac{7a^2 - 21a - a + 3 + 10a - 6a^2}{2a(a^2-9)}$

Приводим подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(7a^2 - 6a^2) + (-21a - a + 10a) + 3}{2a(a^2-9)} = \frac{a^2 - 12a + 3}{2a(a^2-9)}$

Ответ: $\frac{a^2 - 12a + 3}{2a(a^2-9)}$

2) $\frac{6}{3x+3y} + \frac{8x}{4x^2-4y^2}$

Разложим знаменатели на множители:

$3x+3y = 3(x+y)$

$4x^2-4y^2 = 4(x^2-y^2) = 4(x-y)(x+y)$

Общий знаменатель: $12(x-y)(x+y)$.

Приводим дроби к общему знаменателю:

$\frac{6 \cdot 4(x-y)}{12(x-y)(x+y)} + \frac{8x \cdot 3}{12(x-y)(x+y)} = \frac{24(x-y) + 24x}{12(x-y)(x+y)}$

Раскрываем скобки и упрощаем числитель:

$\frac{24x - 24y + 24x}{12(x-y)(x+y)} = \frac{48x - 24y}{12(x-y)(x+y)}$

Выносим общий множитель 24 в числителе и сокращаем дробь:

$\frac{24(2x-y)}{12(x-y)(x+y)} = \frac{2(2x-y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{2(2x-y)}{x^2-y^2}$

Ответ: $\frac{2(2x-y)}{x^2-y^2}$

3) $\frac{3a-b}{a^2-b^2} - \frac{a}{a^2-ab}$

Разложим знаменатели на множители:

$a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$

$a^2-ab = a(a-b)$

Общий знаменатель: $a(a-b)(a+b)$.

Приводим дроби к общему знаменателю:

$\frac{(3a-b) \cdot a}{a(a-b)(a+b)} - \frac{a \cdot (a+b)}{a(a-b)(a+b)} = \frac{a(3a-b) - a(a+b)}{a(a-b)(a+b)}$

Раскрываем скобки и упрощаем числитель:

$\frac{3a^2 - ab - (a^2 + ab)}{a(a-b)(a+b)} = \frac{3a^2 - ab - a^2 - ab}{a(a-b)(a+b)} = \frac{2a^2 - 2ab}{a(a-b)(a+b)}$

Выносим общий множитель $2a$ в числителе и сокращаем дробь:

$\frac{2a(a-b)}{a(a-b)(a+b)} = \frac{2}{a+b}$

Ответ: $\frac{2}{a+b}$

4) $\frac{3a}{4a^2-1} - \frac{a+1}{2a^2+a}$

Разложим знаменатели на множители:

$4a^2-1 = (2a-1)(2a+1)$

$2a^2+a = a(2a+1)$

Общий знаменатель: $a(2a-1)(2a+1)$.

Приводим дроби к общему знаменателю:

$\frac{3a \cdot a}{a(2a-1)(2a+1)} - \frac{(a+1)(2a-1)}{a(2a-1)(2a+1)} = \frac{3a^2 - (a+1)(2a-1)}{a(4a^2-1)}$

Раскрываем скобки в числителе:

$\frac{3a^2 - (2a^2 - a + 2a - 1)}{a(4a^2-1)} = \frac{3a^2 - (2a^2 + a - 1)}{a(4a^2-1)}$

Упрощаем числитель:

$\frac{3a^2 - 2a^2 - a + 1}{a(4a^2-1)} = \frac{a^2 - a + 1}{a(4a^2-1)}$

Ответ: $\frac{a^2-a+1}{a(4a^2-1)}$

5) $\frac{b-1}{(b+3)^2} - \frac{b}{b^2-9}$

Разложим знаменатели на множители:

$(b+3)^2 = (b+3)(b+3)$

$b^2-9 = (b-3)(b+3)$

Общий знаменатель: $(b-3)(b+3)^2$.

Приводим дроби к общему знаменателю:

$\frac{(b-1)(b-3)}{(b-3)(b+3)^2} - \frac{b(b+3)}{(b-3)(b+3)^2} = \frac{(b-1)(b-3) - b(b+3)}{(b-3)(b+3)^2}$

Раскрываем скобки и упрощаем числитель:

$\frac{b^2 - 3b - b + 3 - (b^2 + 3b)}{(b-3)(b+3)^2} = \frac{b^2 - 4b + 3 - b^2 - 3b}{(b-3)(b+3)^2}$

Приводим подобные слагаемые:

$\frac{-7b + 3}{(b-3)(b+3)^2} = \frac{3-7b}{(b-3)(b+3)^2}$

Ответ: $\frac{3-7b}{(b-3)(b+3)^2}$

6) $\frac{a-3}{a^2-4} - \frac{a}{(a-2)^2}$

Разложим знаменатели на множители:

$a^2-4 = (a-2)(a+2)$

$(a-2)^2 = (a-2)(a-2)$

Общий знаменатель: $(a-2)^2(a+2)$.

Приводим дроби к общему знаменателю:

$\frac{(a-3)(a-2)}{(a-2)^2(a+2)} - \frac{a(a+2)}{(a-2)^2(a+2)} = \frac{(a-3)(a-2) - a(a+2)}{(a-2)^2(a+2)}$

Раскрываем скобки и упрощаем числитель:

$\frac{a^2 - 2a - 3a + 6 - (a^2 + 2a)}{(a-2)^2(a+2)} = \frac{a^2 - 5a + 6 - a^2 - 2a}{(a-2)^2(a+2)}$

Приводим подобные слагаемые:

$\frac{-7a + 6}{(a-2)^2(a+2)} = \frac{6-7a}{(a-2)^2(a+2)}$

Ответ: $\frac{6-7a}{(a-2)^2(a+2)}$