Номер 53, страница 20 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 3. Сложение и вычитание алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 53, страница 20.

Условие.

53. Упростить выражение, если $n$ — натуральное число:

1) $\frac{1}{a^{2n} - b^{2n}} + \frac{1}{a^n + b^n} - \frac{1}{a^n - b^n}$

2) $\frac{a^n + b^n}{a^{2n} + 2a^n b^n + b^{2n}} + \frac{1}{a^n + b^n} - \frac{1}{a^n}$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Для упрощения данного выражения необходимо привести все дроби к общему знаменателю. Исходное выражение:

$$ \frac{1}{a^{2n} - b^{2n}} + \frac{1}{a^n + b^n} - \frac{1}{a^n - b^n} $$

Знаменатель первой дроби $a^{2n} - b^{2n}$ можно разложить на множители по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x = a^n$ и $y = b^n$:

$$ a^{2n} - b^{2n} = (a^n)^2 - (b^n)^2 = (a^n - b^n)(a^n + b^n) $$

Видно, что знаменатель первой дроби является общим знаменателем для всех трех дробей. Приведем вторую и третью дроби к этому знаменателю:

$$ \frac{1}{(a^n - b^n)(a^n + b^n)} + \frac{1 \cdot (a^n - b^n)}{(a^n + b^n)(a^n - b^n)} - \frac{1 \cdot (a^n + b^n)}{(a^n - b^n)(a^n + b^n)} $$

Теперь, когда все дроби имеют одинаковый знаменатель, выполним сложение и вычитание их числителей:

$$ \frac{1 + (a^n - b^n) - (a^n + b^n)}{(a^n - b^n)(a^n + b^n)} $$

Раскроем скобки в числителе:

$$ \frac{1 + a^n - b^n - a^n - b^n}{a^{2n} - b^{2n}} $$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$$ \frac{1 - 2b^n}{a^{2n} - b^{2n}} $$

Ответ: $ \frac{1 - 2b^n}{a^{2n} - b^{2n}} $

2)

Рассмотрим выражение:

$$ \frac{a^n + b^n}{a^{2n} + 2a^n b^n + b^{2n}} + \frac{1}{a^n + b^n} - \frac{1}{a^n} $$

Знаменатель первой дроби $a^{2n} + 2a^n b^n + b^{2n}$ является полным квадратом суммы. Применим формулу $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, где $x = a^n$ и $y = b^n$:

$$ a^{2n} + 2a^n b^n + b^{2n} = (a^n)^2 + 2(a^n)(b^n) + (b^n)^2 = (a^n + b^n)^2 $$

Подставим полученное выражение в знаменатель первой дроби:

$$ \frac{a^n + b^n}{(a^n + b^n)^2} + \frac{1}{a^n + b^n} - \frac{1}{a^n} $$

Сократим первую дробь на $(a^n + b^n)$:

$$ \frac{1}{a^n + b^n} + \frac{1}{a^n + b^n} - \frac{1}{a^n} $$

Сложим первые две дроби, так как они имеют одинаковые знаменатели:

$$ \frac{2}{a^n + b^n} - \frac{1}{a^n} $$

Теперь приведем эти две дроби к общему знаменателю $a^n(a^n + b^n)$:

$$ \frac{2 \cdot a^n}{a^n(a^n + b^n)} - \frac{1 \cdot (a^n + b^n)}{a^n(a^n + b^n)} $$

Выполним вычитание дробей:

$$ \frac{2a^n - (a^n + b^n)}{a^n(a^n + b^n)} $$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$$ \frac{2a^n - a^n - b^n}{a^n(a^n + b^n)} = \frac{a^n - b^n}{a^n(a^n + b^n)} $$

Ответ: $ \frac{a^n - b^n}{a^n(a^n + b^n)} $