Номер 4, страница 23 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 4. Умножение и деление алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 4, страница 23.

Условие.

4. Каковы допустимые значения букв, входящих в алгебраическую дробь?

Решение 4.

Алгебраическая дробь — это дробное выражение вида $\frac{A}{B}$, где $A$ (числитель) и $B$ (знаменатель) — это алгебраические выражения, содержащие одну или несколько букв (переменных).

Основное и самое важное правило для любой дроби в математике заключается в том, что ее знаменатель не может быть равен нулю, так как операция деления на ноль не определена. Это правило в полной мере относится и к алгебраическим дробям.

Допустимыми значениями букв (переменных), входящих в алгебраическую дробь, называют все те значения, при которых данная дробь имеет смысл. Иными словами, это все значения переменных, при которых знаменатель дроби не обращается в ноль. Совокупность всех допустимых значений переменных называют областью допустимых значений (ОДЗ) выражения.

Чтобы найти допустимые значения переменных для алгебраической дроби, необходимо найти все значения, которые обращают ее знаменатель в ноль, и исключить их. Для этого выражение, стоящее в знаменателе, приравнивают к нулю и решают полученное уравнение. Все числа, за исключением найденных корней этого уравнения, и будут составлять множество допустимых значений.

Рассмотрим несколько примеров:

Пример 1: Дробь $\frac{x+5}{x-3}$.
Знаменатель дроби — это выражение $x-3$. Найдем значение $x$, при котором знаменатель равен нулю:
$x-3 = 0$
$x = 3$
Следовательно, при $x=3$ знаменатель обращается в ноль, и дробь теряет смысл. Допустимыми значениями для переменной $x$ являются все числа, кроме 3. Это можно записать как $x \ne 3$.

Пример 2: Дробь $\frac{7a}{a^2-9}$.
Знаменатель дроби — это $a^2-9$. Найдем значения $a$, при которых он равен нулю:
$a^2-9 = 0$
Используя формулу разности квадратов, получаем $(a-3)(a+3) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, поэтому $a-3=0$ или $a+3=0$.
Корни уравнения: $a_1 = 3$ и $a_2 = -3$.
Значит, допустимыми значениями для переменной $a$ являются все числа, кроме 3 и -3.

Пример 3: Дробь $\frac{k+n}{n(n-2)(n+5)}$.
Знаменатель дроби — $n(n-2)(n+5)$. Он обращается в ноль, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$n=0$ или $n-2=0$ (т.е. $n=2$) или $n+5=0$ (т.е. $n=-5$).
Допустимые значения для переменной $n$ — все числа, кроме 0, 2 и -5. Переменная $k$ может принимать любые значения, так как она находится только в числителе и не влияет на равенство знаменателя нулю.

Таким образом, для любой алгебраической дроби допустимыми являются те и только те значения входящих в нее букв, которые не обращают ее знаменатель в ноль.

Ответ: Допустимыми значениями букв, входящих в алгебраическую дробь, являются все значения этих букв, при которых знаменатель дроби не равен нулю.