Страница 30 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

82. Решить уравнение:

1) $\frac{(1 - 5x)^2}{48} - \frac{(2x - 1)(2x + 1)}{8} = \frac{x + 0,25x^2}{12}$;

2) $\frac{0,03 - x^2}{9} - \frac{(0,1 + x)^2}{18} = \frac{(0,1 - x)(0,1 + x)}{6}$;

3) $\frac{(3x + 4)^2}{36} + \frac{3x(1 - x)}{18} = \frac{(x - 4)(x + 4)}{12}.$

1) Исходное уравнение: $ \frac{(1-5x)^2}{48} - \frac{(2x-1)(2x+1)}{8} = \frac{x+0,25x^2}{12} $

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который для чисел 48, 8 и 12 равен 48.

$ 48 \cdot \frac{(1-5x)^2}{48} - 48 \cdot \frac{(2x-1)(2x+1)}{8} = 48 \cdot \frac{x+0,25x^2}{12} $

После сокращения получаем:

$ (1-5x)^2 - 6(2x-1)(2x+1) = 4(x+0,25x^2) $

Теперь раскроем скобки. В левой части используем формулы квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$ (1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 5x + (5x)^2) - 6((2x)^2 - 1^2) = 4x + 4 \cdot 0,25x^2 $

$ (1 - 10x + 25x^2) - 6(4x^2 - 1) = 4x + x^2 $

$ 1 - 10x + 25x^2 - 24x^2 + 6 = 4x + x^2 $

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$ (25x^2 - 24x^2) - 10x + (1+6) = 4x + x^2 $

$ x^2 - 10x + 7 = 4x + x^2 $

Перенесем все слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа в другую:

$ x^2 - x^2 - 10x - 4x = -7 $

$ -14x = -7 $

Найдем $x$:

$ x = \frac{-7}{-14} = \frac{1}{2} $ или $0,5$

Ответ: $0,5$.

2) Исходное уравнение: $ \frac{0,03-x^2}{9} - \frac{(0,1+x)^2}{18} = \frac{(0,1-x)(0,1+x)}{6} $

Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который для чисел 9, 18 и 6 равен 18.

$ 18 \cdot \frac{0,03-x^2}{9} - 18 \cdot \frac{(0,1+x)^2}{18} = 18 \cdot \frac{(0,1-x)(0,1+x)}{6} $

После сокращения получаем:

$ 2(0,03-x^2) - (0,1+x)^2 = 3(0,1-x)(0,1+x) $

Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и разности квадратов:

$ (0,06 - 2x^2) - (0,1^2 + 2 \cdot 0,1 \cdot x + x^2) = 3(0,1^2 - x^2) $

$ 0,06 - 2x^2 - (0,01 + 0,2x + x^2) = 3(0,01 - x^2) $

$ 0,06 - 2x^2 - 0,01 - 0,2x - x^2 = 0,03 - 3x^2 $

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$ (0,06-0,01) + (-2x^2 - x^2) - 0,2x = 0,03 - 3x^2 $

$ 0,05 - 3x^2 - 0,2x = 0,03 - 3x^2 $

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа в другую. Члены с $x^2$ взаимно уничтожаются.

$ -3x^2 + 3x^2 - 0,2x = 0,03 - 0,05 $

$ -0,2x = -0,02 $

Найдем $x$:

$ x = \frac{-0,02}{-0,2} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} $ или $0,1$

Ответ: $0,1$.

3) Исходное уравнение: $ \frac{(3x+4)^2}{36} + \frac{3x(1-x)}{18} = \frac{(x-4)(x+4)}{12} $

Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который для чисел 36, 18 и 12 равен 36.

$ 36 \cdot \frac{(3x+4)^2}{36} + 36 \cdot \frac{3x(1-x)}{18} = 36 \cdot \frac{(x-4)(x+4)}{12} $

После сокращения получаем:

$ (3x+4)^2 + 2 \cdot 3x(1-x) = 3(x-4)(x+4) $

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения:

$ ((3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 4 + 4^2) + 6x(1-x) = 3(x^2 - 4^2) $

$ (9x^2 + 24x + 16) + (6x - 6x^2) = 3(x^2 - 16) $

$ 9x^2 + 24x + 16 + 6x - 6x^2 = 3x^2 - 48 $

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$ (9x^2 - 6x^2) + (24x + 6x) + 16 = 3x^2 - 48 $

$ 3x^2 + 30x + 16 = 3x^2 - 48 $

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа в другую. Члены с $x^2$ взаимно уничтожаются.

$ 3x^2 - 3x^2 + 30x = -48 - 16 $

$ 30x = -64 $

Найдем $x$:

$ x = -\frac{64}{30} $

Сократим дробь на 2:

$ x = -\frac{32}{15} $

Можно представить в виде смешанной дроби: $x = -2\frac{2}{15}$.

Ответ: $-\frac{32}{15}$.

83. Найти значение выражения:

1) $\frac{2x}{4x^2 - y^2} - \frac{1}{2x + y} - \frac{y}{4x^2 - y^2}$ при $x=0,37$, $y=-1,4$;

2) $\frac{x^2 - 1}{x} \cdot \left(\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{1 + x} + 1\right)$ при $x=\frac{1}{2}$.

1) Сначала упростим данное выражение. Для этого приведем все дроби к общему знаменателю.

$ \frac{2x}{4x^2 - y^2} - \frac{1}{2x + y} - \frac{y}{4x^2 - y^2} $

Заметим, что знаменатель $4x^2 - y^2$ является разностью квадратов и может быть разложен на множители: $4x^2 - y^2 = (2x - y)(2x + y)$. Это и будет общим знаменателем.

Приведем вторую дробь к общему знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $(2x - y)$:

$ \frac{2x}{(2x - y)(2x + y)} - \frac{1 \cdot (2x - y)}{(2x + y)(2x - y)} - \frac{y}{(2x - y)(2x + y)} $

Теперь объединим все дроби в одну, выполнив действия в числителе:

$ \frac{2x - (2x - y) - y}{(2x - y)(2x + y)} = \frac{2x - 2x + y - y}{(2x - y)(2x + y)} = \frac{0}{(2x - y)(2x + y)} = 0 $

Выражение равно нулю при любых значениях $x$ и $y$, при которых оно определено (то есть знаменатель не равен нулю).

Проверим, что при заданных значениях $x = 0,37$ и $y = -1,4$ знаменатель не обращается в ноль:

$ 4x^2 - y^2 = 4 \cdot (0,37)^2 - (-1,4)^2 = 4 \cdot 0,1369 - 1,96 = 0,5476 - 1,96 = -1,4124 $

Поскольку $-1,4124 \neq 0$, выражение определено, и его значение равно 0.

Ответ: 0

2) Сначала упростим данное выражение.

$ \frac{x^2 - 1}{x} \cdot \left( \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{1 + x} + 1 \right) $

Первым шагом выполним действия в скобках. Приведем все слагаемые к общему знаменателю $(x - 1)(1 + x) = x^2 - 1$:

$ \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{1 + x} + 1 = \frac{1 \cdot (1 + x)}{(x-1)(1+x)} - \frac{1 \cdot (x - 1)}{(1+x)(x-1)} + \frac{1 \cdot (x^2-1)}{x^2-1} $

Объединим дроби и упростим числитель:

$ \frac{(1+x) - (x-1) + (x^2-1)}{x^2 - 1} = \frac{1+x-x+1+x^2-1}{x^2 - 1} = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} $

Теперь умножим полученный результат на первую дробь $\frac{x^2-1}{x}$:

$ \frac{x^2 - 1}{x} \cdot \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} $

Сократим общий множитель $(x^2 - 1)$ в числителе и знаменателе. Это действие правомерно, так как при $x = \frac{1}{2}$ выражение $x^2 - 1 \neq 0$.

$ \frac{x^2 + 1}{x} $

Теперь подставим значение $x = \frac{1}{2}$ в упрощенное выражение:

$ \frac{(\frac{1}{2})^2 + 1}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{4} + 1}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{5}{4}}{\frac{1}{2}} $

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно первую дробь умножить на перевернутую вторую:

$ \frac{5}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2,5 $

Ответ: 2,5

Выполнить действия (84—86).

84. 1) $\frac{a+b}{a} - \frac{a}{a-b} - \frac{b^2}{a^2-ab}$;

2) $\frac{5b-1}{3b^2-3} + \frac{b+2}{2b+2} - \frac{b+1}{b-1}$;

3) $\frac{6a}{9a^2-1} + \frac{3a+1}{3-9a} + \frac{3a-1}{6a+2}$;

4) $\frac{7}{m} - \frac{4}{m-2n} - \frac{m-n}{4n^2-m^2}$;

5) $x - \frac{xy}{x+y} - \frac{x^3}{x^2-y^2}$;

6) $a-2+\frac{4a}{2+a} - \frac{a^3+b}{a^2+2a}$.

1) Исходное выражение: $ \frac{a+b}{a} - \frac{a}{a-b} - \frac{b^2}{a^2-ab} $.
Для начала, разложим на множители знаменатели, чтобы найти общий знаменатель.
Знаменатель третьей дроби: $ a^2-ab = a(a-b) $.
Таким образом, общий знаменатель для дробей будет $ a(a-b) $.
Приведем все дроби к этому знаменателю:
$ \frac{(a+b)(a-b)}{a(a-b)} - \frac{a \cdot a}{a(a-b)} - \frac{b^2}{a(a-b)} = \frac{a^2-b^2}{a(a-b)} - \frac{a^2}{a(a-b)} - \frac{b^2}{a(a-b)} $
Теперь, когда все дроби имеют одинаковый знаменатель, объединим их числители:
$ \frac{(a^2-b^2) - a^2 - b^2}{a(a-b)} = \frac{a^2 - b^2 - a^2 - b^2}{a(a-b)} $
Упростим числитель, приведя подобные слагаемые:
$ \frac{-2b^2}{a(a-b)} $
Ответ: $ \frac{-2b^2}{a(a-b)} $

2) Исходное выражение: $ \frac{5b-1}{3b^2-3} + \frac{b+2}{2b+2} - \frac{b+1}{b-1} $.
Разложим знаменатели на множители:
$ 3b^2-3 = 3(b^2-1) = 3(b-1)(b+1) $
$ 2b+2 = 2(b+1) $
Наименьший общий знаменатель будет $ 6(b-1)(b+1) $.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$ \frac{2(5b-1)}{6(b-1)(b+1)} + \frac{3(b-1)(b+2)}{6(b-1)(b+1)} - \frac{6(b+1)(b+1)}{6(b-1)(b+1)} $
Объединим дроби и раскроем скобки в числителе:
$ \frac{2(5b-1) + 3(b^2+b-2) - 6(b^2+2b+1)}{6(b-1)(b+1)} = \frac{10b-2 + 3b^2+3b-6 - 6b^2-12b-6}{6(b-1)(b+1)} $
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$ \frac{(3b^2-6b^2) + (10b+3b-12b) + (-2-6-6)}{6(b-1)(b+1)} = \frac{-3b^2+b-14}{6(b-1)(b+1)} $
Ответ: $ \frac{-3b^2+b-14}{6(b^2-1)} $

3) Исходное выражение: $ \frac{6a}{9a^2-1} + \frac{3a+1}{3-9a} + \frac{3a-1}{6a+2} $.
Разложим знаменатели на множители и упростим знаки:
$ 9a^2-1 = (3a-1)(3a+1) $
$ 3-9a = 3(1-3a) = -3(3a-1) $
$ 6a+2 = 2(3a+1) $
Выражение примет вид:
$ \frac{6a}{(3a-1)(3a+1)} - \frac{3a+1}{3(3a-1)} + \frac{3a-1}{2(3a+1)} $
Общий знаменатель: $ 6(3a-1)(3a+1) $.
Приводим к общему знаменателю:
$ \frac{6 \cdot 6a}{6(3a-1)(3a+1)} - \frac{2(3a+1)^2}{6(3a-1)(3a+1)} + \frac{3(3a-1)^2}{6(3a-1)(3a+1)} $
Объединим числители и раскроем скобки:
$ \frac{36a - 2(9a^2+6a+1) + 3(9a^2-6a+1)}{6(3a-1)(3a+1)} = \frac{36a - 18a^2-12a-2 + 27a^2-18a+3}{6(3a-1)(3a+1)} $
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$ \frac{9a^2+6a+1}{6(3a-1)(3a+1)} $
Числитель является полным квадратом: $ 9a^2+6a+1 = (3a+1)^2 $.
$ \frac{(3a+1)^2}{6(3a-1)(3a+1)} = \frac{3a+1}{6(3a-1)} $
Ответ: $ \frac{3a+1}{6(3a-1)} $

4) Исходное выражение: $ \frac{7}{m} - \frac{4}{m-2n} - \frac{m-n}{4n^2-m^2} $.
Преобразуем знаменатель последней дроби:
$ 4n^2-m^2 = -(m^2-4n^2) = -(m-2n)(m+2n) $.
Тогда выражение можно переписать:
$ \frac{7}{m} - \frac{4}{m-2n} - \frac{m-n}{-(m-2n)(m+2n)} = \frac{7}{m} - \frac{4}{m-2n} + \frac{m-n}{(m-2n)(m+2n)} $
Общий знаменатель: $ m(m-2n)(m+2n) $.
Приводим к общему знаменателю:
$ \frac{7(m-2n)(m+2n)}{m(m-2n)(m+2n)} - \frac{4m(m+2n)}{m(m-2n)(m+2n)} + \frac{m(m-n)}{m(m-2n)(m+2n)} $
Объединяем числители:
$ \frac{7(m^2-4n^2) - 4(m^2+2mn) + (m^2-mn)}{m(m-2n)(m+2n)} = \frac{7m^2-28n^2 - 4m^2-8mn + m^2-mn}{m(m-2n)(m+2n)} $
Приводим подобные слагаемые в числителе:
$ \frac{4m^2-9mn-28n^2}{m(m-2n)(m+2n)} $
Числитель можно разложить на множители: $ 4m^2-9mn-28n^2 = (4m+7n)(m-4n) $.
Ответ: $ \frac{(4m+7n)(m-4n)}{m(m-2n)(m+2n)} $

5) Исходное выражение: $ x - \frac{xy}{x+y} - \frac{x^3}{x^2-y^2} $.
Представим $ x $ как дробь $ \frac{x}{1} $ и разложим знаменатель последней дроби: $ x^2-y^2=(x-y)(x+y) $.
Общий знаменатель будет $ (x-y)(x+y) $.
Приведем все члены к общему знаменателю:
$ \frac{x(x-y)(x+y)}{(x-y)(x+y)} - \frac{xy(x-y)}{(x-y)(x+y)} - \frac{x^3}{(x-y)(x+y)} $
Объединим дроби:
$ \frac{x(x^2-y^2) - xy(x-y) - x^3}{(x-y)(x+y)} = \frac{x^3-xy^2 - (x^2y-xy^2) - x^3}{(x-y)(x+y)} $
Раскроем скобки и упростим числитель:
$ \frac{x^3-xy^2 - x^2y + xy^2 - x^3}{x^2-y^2} = \frac{-x^2y}{x^2-y^2} $
Ответ: $ \frac{-x^2y}{x^2-y^2} $

6) Исходное выражение: $ a - 2 + \frac{4a}{2+a} - \frac{a^3+b}{a^2+2a} $.
Представим $ a-2 $ как дробь $ \frac{a-2}{1} $ и разложим знаменатель последней дроби: $ a^2+2a=a(a+2) $.
Общий знаменатель: $ a(a+2) $.
Приведем все члены к общему знаменателю:
$ \frac{(a-2)a(a+2)}{a(a+2)} + \frac{4a \cdot a}{a(a+2)} - \frac{a^3+b}{a(a+2)} $
Объединим дроби и раскроем скобки в числителе:
$ \frac{a(a^2-4) + 4a^2 - (a^3+b)}{a(a+2)} = \frac{a^3-4a + 4a^2 - a^3-b}{a(a+2)} $
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$ \frac{4a^2-4a-b}{a(a+2)} $
Ответ: $ \frac{4a^2-4a-b}{a^2+2a} $

85. 1) $ \frac{64x^2y^2 - 1}{x^2 - 4} \cdot \frac{(x + 2)^2}{x^2 - 4} \cdot \frac{(x - 2)^2}{8xy + 1} $

2) $ \frac{ab - 4b - 2a + 8}{2a + 8 - ab - 4b} \cdot \frac{2a - 8 - ab + 4b}{ab + 4b - 2a - 8} $

3) $ \frac{x - 6}{x^2 + 6x + 9} \cdot \frac{x^2 + 4x + 4}{(x^2 + 2)(x - 2)} \cdot \frac{x^3 - 9x}{(x - 6)(x + 2)} $

4) $ \frac{am^2 - an^2}{m^2 + 2mn + n^2} : \frac{am^2 - 2amn + an^2}{3m + 3n} $

1) Чтобы упростить выражение, разложим числители и знаменатели дробей на множители. Будем использовать формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Исходное выражение: $ \frac{64x^2y^2-1}{x^2-4} \cdot \frac{(x+2)^2}{x^2-4} \cdot \frac{(x-2)^2}{8xy+1} $
Разложим на множители числитель первой дроби: $ 64x^2y^2-1 = (8xy)^2 - 1^2 = (8xy-1)(8xy+1) $.
Разложим на множители знаменатели первой и второй дробей: $ x^2-4 = x^2 - 2^2 = (x-2)(x+2) $.
Подставим разложенные выражения в исходное:
$ \frac{(8xy-1)(8xy+1)}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{(x+2)^2}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{(x-2)^2}{8xy+1} $
Запишем все множители под одной дробной чертой:
$ \frac{(8xy-1)(8xy+1)(x+2)^2(x-2)^2}{(x-2)(x+2)(x-2)(x+2)(8xy+1)} = \frac{(8xy-1)(8xy+1)(x+2)^2(x-2)^2}{(x-2)^2(x+2)^2(8xy+1)} $
Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе: $ (8xy+1) $, $ (x+2)^2 $ и $ (x-2)^2 $.
После сокращения остается: $ 8xy-1 $.
Ответ: $8xy-1$

2) Чтобы упростить выражение, разложим на множители числители и знаменатели обеих дробей методом группировки.
Исходное выражение: $ \frac{ab-4b-2a+8}{2a+8-ab-4b} \cdot \frac{2a-8-ab+4b}{ab+4b-2a-8} $
Разложим на множители числитель первой дроби: $ ab-4b-2a+8 = b(a-4)-2(a-4) = (b-2)(a-4) $.
Разложим на множители знаменатель первой дроби: $ 2a+8-ab-4b = 2(a+4)-b(a+4) = (2-b)(a+4) $.
Разложим на множители числитель второй дроби: $ 2a-8-ab+4b = 2(a-4)-b(a-4) = (2-b)(a-4) $.
Разложим на множители знаменатель второй дроби: $ ab+4b-2a-8 = b(a+4)-2(a+4) = (b-2)(a+4) $.
Подставим разложенные выражения:
$ \frac{(b-2)(a-4)}{(2-b)(a+4)} \cdot \frac{(2-b)(a-4)}{(b-2)(a+4)} $
Сократим общие множители $ (b-2) $ и $ (2-b) $.
Получим: $ \frac{(a-4)}{(a+4)} \cdot \frac{(a-4)}{(a+4)} = \frac{(a-4)^2}{(a+4)^2} $.
Ответ: $ \frac{(a-4)^2}{(a+4)^2} $

3) Для упрощения выражения разложим на множители многочлены в числителях и знаменателях. Будем использовать формулы сокращенного умножения и вынесение общего множителя за скобки.
Исходное выражение: $ \frac{x-6}{x^2+6x+9} \cdot \frac{x^2+4x+4}{(x^2+2)(x-2)} \cdot \frac{x^3-9x}{(x-6)(x+2)} $
Разложим знаменатель первой дроби (квадрат суммы): $ x^2+6x+9 = (x+3)^2 $.
Разложим числитель второй дроби (квадрат суммы): $ x^2+4x+4 = (x+2)^2 $.
Разложим числитель третьей дроби (вынесение общего множителя и разность квадратов): $ x^3-9x = x(x^2-9) = x(x-3)(x+3) $.
Подставим разложенные выражения:
$ \frac{x-6}{(x+3)^2} \cdot \frac{(x+2)^2}{(x^2+2)(x-2)} \cdot \frac{x(x-3)(x+3)}{(x-6)(x+2)} $
Запишем все под одной дробной чертой и сократим общие множители:
$ \frac{(x-6) \cdot (x+2)^2 \cdot x(x-3)(x+3)}{(x+3)^2 \cdot (x^2+2)(x-2) \cdot (x-6)(x+2)} $
Сокращаем $ (x-6) $, $ (x+2) $ и $ (x+3) $. В числителе остается $ (x+2) $, в знаменателе $ (x+3) $.
$ \frac{(x+2) \cdot x(x-3)}{(x+3)(x^2+2)(x-2)} $
Дальнейшее упрощение невозможно.
Ответ: $ \frac{x(x+2)(x-3)}{(x+3)(x-2)(x^2+2)} $

4) Данное выражение является делением дробей. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на дробь, обратную делителю.
Исходное выражение: $ \frac{am^2-an^2}{m^2+2mn+n^2} : \frac{am^2-2amn+an^2}{3m+3n} $
Перевернем вторую дробь и заменим деление на умножение:
$ \frac{am^2-an^2}{m^2+2mn+n^2} \cdot \frac{3m+3n}{am^2-2amn+an^2} $
Теперь разложим на множители числители и знаменатели:
$ am^2-an^2 = a(m^2-n^2) = a(m-n)(m+n) $ (разность квадратов).
$ m^2+2mn+n^2 = (m+n)^2 $ (квадрат суммы).
$ 3m+3n = 3(m+n) $ (вынесение общего множителя).
$ am^2-2amn+an^2 = a(m^2-2mn+n^2) = a(m-n)^2 $ (квадрат разности).
Подставим разложенные выражения:
$ \frac{a(m-n)(m+n)}{(m+n)^2} \cdot \frac{3(m+n)}{a(m-n)^2} $
Запишем все под одной дробной чертой и проведем сокращение:
$ \frac{a(m-n)(m+n) \cdot 3(m+n)}{(m+n)^2 \cdot a(m-n)^2} = \frac{3a(m-n)(m+n)^2}{a(m-n)^2(m+n)^2} $
Сократим общие множители $ a $, $ (m+n)^2 $ и $ (m-n) $.
После сокращения в числителе остается $ 3 $, а в знаменателе $ m-n $.
Ответ: $ \frac{3}{m-n} $

86. 1) $(\frac{a+1}{2a-2} + \frac{6}{2a^2-2} - \frac{a+3}{2a+2}) \cdot \frac{4a^2-4}{3};$

2) $\frac{a^2-c^2}{a+b} \cdot \frac{a^2-b^2}{ac+c^2} \cdot (a + \frac{ac}{a-c});$

3) $(\frac{b}{a^2+ab} + \frac{2}{a+b} + \frac{a}{b^2+ab}) : \frac{a^2-b^2}{4ab};$

4) $\frac{c^2-ac}{a^2-b^2} \cdot \frac{a-b}{c^2-a^2} : (c - \frac{ac}{a+c}).$

1)

Исходное выражение: $ (\frac{a+1}{2a-2} + \frac{6}{2a^2-2} - \frac{a+3}{2a+2}) \cdot \frac{4a^2-4}{3} $

Сначала упростим выражение в скобках. Для этого разложим знаменатели на множители, чтобы найти общий знаменатель:

$ 2a-2 = 2(a-1) $

$ 2a^2-2 = 2(a^2-1) = 2(a-1)(a+1) $

$ 2a+2 = 2(a+1) $

Общий знаменатель для дробей в скобках равен $ 2(a-1)(a+1) $. Приведем дроби к этому знаменателю:

$ \frac{a+1}{2(a-1)} = \frac{(a+1)(a+1)}{2(a-1)(a+1)} = \frac{a^2+2a+1}{2(a-1)(a+1)} $

$ \frac{a+3}{2(a+1)} = \frac{(a+3)(a-1)}{2(a-1)(a+1)} = \frac{a^2-a+3a-3}{2(a-1)(a+1)} = \frac{a^2+2a-3}{2(a-1)(a+1)} $

Теперь выполним сложение и вычитание в скобках:

$ \frac{a^2+2a+1}{2(a-1)(a+1)} + \frac{6}{2(a-1)(a+1)} - \frac{a^2+2a-3}{2(a-1)(a+1)} = \frac{(a^2+2a+1) + 6 - (a^2+2a-3)}{2(a-1)(a+1)} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{a^2+2a+1+6-a^2-2a+3}{2(a-1)(a+1)} = \frac{10}{2(a-1)(a+1)} = \frac{5}{(a-1)(a+1)} $

Теперь умножим полученный результат на вторую дробь $ \frac{4a^2-4}{3} $. Разложим ее числитель на множители: $ 4a^2-4 = 4(a^2-1) = 4(a-1)(a+1) $.

$ \frac{5}{(a-1)(a+1)} \cdot \frac{4(a-1)(a+1)}{3} $

Сократим общие множители $ (a-1)(a+1) $:

$ \frac{5 \cdot 4}{3} = \frac{20}{3} $

Ответ: $ \frac{20}{3} $

2)

Исходное выражение: $ \frac{a^2-c^2}{a+b} \cdot \frac{a^2-b^2}{ac+c^2} \cdot (a + \frac{ac}{a-c}) $

Сначала упростим выражение в скобках:

$ a + \frac{ac}{a-c} = \frac{a(a-c)}{a-c} + \frac{ac}{a-c} = \frac{a^2-ac+ac}{a-c} = \frac{a^2}{a-c} $

Теперь разложим на множители числители и знаменатели дробей в исходном выражении:

$ a^2-c^2 = (a-c)(a+c) $

$ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $

$ ac+c^2 = c(a+c) $

Подставим все упрощенные и разложенные части в исходное выражение:

$ \frac{(a-c)(a+c)}{a+b} \cdot \frac{(a-b)(a+b)}{c(a+c)} \cdot \frac{a^2}{a-c} $

Сократим общие множители: $ (a-c) $, $ (a+c) $ и $ (a+b) $.

$ \frac{\cancel{(a-c)}\cancel{(a+c)}}{\cancel{a+b}} \cdot \frac{(a-b)\cancel{(a+b)}}{c\cancel{(a+c)}} \cdot \frac{a^2}{\cancel{a-c}} = \frac{a-b}{c} \cdot a^2 = \frac{a^2(a-b)}{c} $

Ответ: $ \frac{a^2(a-b)}{c} $

3)

Исходное выражение: $ (\frac{b}{a^2+ab} + \frac{2}{a+b} + \frac{a}{b^2+ab}) : \frac{a^2-b^2}{4ab} $

Упростим выражение в скобках. Разложим знаменатели на множители для нахождения общего знаменателя:

$ a^2+ab = a(a+b) $

$ b^2+ab = b(b+a) = b(a+b) $

Общий знаменатель: $ ab(a+b) $. Приведем дроби к нему:

$ \frac{b}{a(a+b)} = \frac{b \cdot b}{ab(a+b)} = \frac{b^2}{ab(a+b)} $

$ \frac{2}{a+b} = \frac{2 \cdot ab}{ab(a+b)} = \frac{2ab}{ab(a+b)} $

$ \frac{a}{b(a+b)} = \frac{a \cdot a}{ab(a+b)} = \frac{a^2}{ab(a+b)} $

Сложим дроби в скобках:

$ \frac{b^2 + 2ab + a^2}{ab(a+b)} $

Числитель является полным квадратом: $ a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2 $.

$ \frac{(a+b)^2}{ab(a+b)} = \frac{a+b}{ab} $

Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$ \frac{a+b}{ab} : \frac{a^2-b^2}{4ab} = \frac{a+b}{ab} \cdot \frac{4ab}{a^2-b^2} $

Разложим $ a^2-b^2 $ по формуле разности квадратов: $ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $.

$ \frac{a+b}{ab} \cdot \frac{4ab}{(a-b)(a+b)} $

Сократим общие множители $ (a+b) $ и $ ab $:

$ \frac{\cancel{a+b}}{\cancel{ab}} \cdot \frac{4\cancel{ab}}{(a-b)\cancel{(a+b)}} = \frac{4}{a-b} $

Ответ: $ \frac{4}{a-b} $

4)

Исходное выражение: $ \frac{c^2-ac}{a^2-b^2} \cdot \frac{a-b}{c^2-a^2} : (c - \frac{ac}{a+c}) $

Сначала упростим выражение в скобках:

$ c - \frac{ac}{a+c} = \frac{c(a+c)}{a+c} - \frac{ac}{a+c} = \frac{ac+c^2-ac}{a+c} = \frac{c^2}{a+c} $

Теперь заменим деление на умножение на обратную дробь:

$ \frac{c^2-ac}{a^2-b^2} \cdot \frac{a-b}{c^2-a^2} \cdot \frac{a+c}{c^2} $

Разложим числители и знаменатели на множители:

$ c^2-ac = c(c-a) $

$ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $

$ c^2-a^2 = (c-a)(c+a) $

Подставим разложенные выражения в пример:

$ \frac{c(c-a)}{(a-b)(a+b)} \cdot \frac{a-b}{(c-a)(c+a)} \cdot \frac{a+c}{c^2} $

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cancel{c}\cancel{(c-a)}}{\cancel{(a-b)}(a+b)} \cdot \frac{\cancel{a-b}}{\cancel{(c-a)}\cancel{(c+a)}} \cdot \frac{\cancel{a+c}}{c^{\cancel{2}}} = \frac{1}{(a+b)c} $

Ответ: $ \frac{1}{c(a+b)} $