Номер 68, страница 25 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 4. Умножение и деление алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 68, страница 25.

Условие.

68. Доказать, что при всех допустимых значениях a, b, x и y (n — натуральное число) верно равенство:

1) $\frac{a^{2n} - b^{2n}}{a^{2n} + b^{2n}} \cdot \frac{a^{4n} - b^{4n}}{a^{2n} - 2a^n b^n + b^{2n}} = (a^n + b^n)^2;$

2) $\frac{(x^n + y^n)^2}{x^{4n} - y^{4n}} : \frac{x^{2n} - y^{2n}}{x^{2n} + y^{2n}} = \frac{1}{(x^n - y^n)^2}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

Для доказательства данного равенства преобразуем его левую часть. Будем использовать формулы сокращенного умножения: разность квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$ и квадрат разности $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.

Левая часть равенства имеет вид:

$$ \frac{a^{2n} - b^{2n}}{a^{2n} + b^{2n}} \cdot \frac{a^{4n} - b^{4n}}{a^{2n} - 2a^n b^n + b^{2n}} $$

Разложим на множители числитель первой дроби: $ a^{2n} - b^{2n} = (a^n)^2 - (b^n)^2 = (a^n - b^n)(a^n + b^n) $.

Преобразуем знаменатель второй дроби в полный квадрат: $ a^{2n} - 2a^n b^n + b^{2n} = (a^n - b^n)^2 $.

Разложим на множители числитель второй дроби: $ a^{4n} - b^{4n} = (a^{2n})^2 - (b^{2n})^2 = (a^{2n} - b^{2n})(a^{2n} + b^{2n}) $.

Подставим преобразованные выражения обратно в левую часть равенства:

$$ \frac{(a^n - b^n)(a^n + b^n)}{a^{2n} + b^{2n}} \cdot \frac{(a^{2n} - b^{2n})(a^{2n} + b^{2n})}{(a^n - b^n)^2} $$

Сократим общий множитель $(a^{2n} + b^{2n})$ в числителе второй дроби и знаменателе первой:

$$ (a^n - b^n)(a^n + b^n) \cdot \frac{a^{2n} - b^{2n}}{(a^n - b^n)^2} $$

Снова применим формулу разности квадратов к оставшемуся числителю $a^{2n} - b^{2n}$:

$$ (a^n - b^n)(a^n + b^n) \cdot \frac{(a^n - b^n)(a^n + b^n)}{(a^n - b^n)^2} $$

Объединим множители:

$$ \frac{(a^n - b^n)(a^n + b^n)(a^n - b^n)(a^n + b^n)}{(a^n - b^n)^2} = \frac{(a^n - b^n)^2 (a^n + b^n)^2}{(a^n - b^n)^2} $$

Сократим общий множитель $(a^n - b^n)^2$:

$$ (a^n + b^n)^2 $$

Полученное выражение совпадает с правой частью исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Равенство доказано.

2)

Для доказательства равенства преобразуем его левую часть. Сначала заменим операцию деления на умножение на обратную дробь:

$$ \frac{(x^n + y^n)^2}{x^{4n} - y^{4n}} : \frac{x^{2n} - y^{2n}}{x^{2n} + y^{2n}} = \frac{(x^n + y^n)^2}{x^{4n} - y^{4n}} \cdot \frac{x^{2n} + y^{2n}}{x^{2n} - y^{2n}} $$

Теперь будем упрощать полученное выражение, используя формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

Разложим на множители знаменатель первой дроби:

$$ x^{4n} - y^{4n} = (x^{2n})^2 - (y^{2n})^2 = (x^{2n} - y^{2n})(x^{2n} + y^{2n}) $$

Подставим это в выражение:

$$ \frac{(x^n + y^n)^2}{(x^{2n} - y^{2n})(x^{2n} + y^{2n})} \cdot \frac{x^{2n} + y^{2n}}{x^{2n} - y^{2n}} $$

Сократим общий множитель $(x^{2n} + y^{2n})$:

$$ \frac{(x^n + y^n)^2}{(x^{2n} - y^{2n})} \cdot \frac{1}{x^{2n} - y^{2n}} = \frac{(x^n + y^n)^2}{(x^{2n} - y^{2n})^2} $$

Теперь разложим на множители выражение в знаменателе $x^{2n} - y^{2n}$:

$$ x^{2n} - y^{2n} = (x^n)^2 - (y^n)^2 = (x^n - y^n)(x^n + y^n) $$

Подставим это в знаменатель нашей дроби:

$$ \frac{(x^n + y^n)^2}{((x^n - y^n)(x^n + y^n))^2} = \frac{(x^n + y^n)^2}{(x^n - y^n)^2 (x^n + y^n)^2} $$

Сократим общий множитель $(x^n + y^n)^2$:

$$ \frac{1}{(x^n - y^n)^2} $$

Полученное выражение совпадает с правой частью исходного равенства. Тождество доказано.

Ответ: Равенство доказано.