Номер 61, страница 24 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 4. Умножение и деление алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 61, страница 24.

Условие.

61. 1) $\frac{1-a}{3b^2} \cdot \frac{b^3}{1-a^2}$;

2) $\frac{5m}{m^2-n^2} : \frac{15m^3}{m-n}$;

3) $\frac{3(x+y)}{4y^2(x^2+y^2)} \cdot \frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}$;

4) $\frac{5(a-b)}{3(a^2+b^2)} : \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Чтобы умножить две алгебраические дроби, необходимо перемножить их числители и их знаменатели. Затем, если возможно, сократить полученную дробь.

$ \frac{1-a}{3b^2} \cdot \frac{b^3}{1-a^2} = \frac{(1-a) \cdot b^3}{3b^2 \cdot (1-a^2)} $

Разложим знаменатель $1-a^2$ на множители, используя формулу разности квадратов $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$: $1-a^2 = (1-a)(1+a)$.

Подставим разложенное выражение обратно в дробь: $ \frac{(1-a)b^3}{3b^2(1-a)(1+a)} $

Теперь сократим общие множители в числителе и знаменателе. Общий множитель — это $(1-a)$. Также можно сократить $b^2$ (так как $b^3/b^2 = b$): $ \frac{\cancel{(1-a)} \cdot b^3}{3b^2\cancel{(1-a)}(1+a)} = \frac{b^3}{3b^2(1+a)} = \frac{b}{3(1+a)} $

Ответ: $ \frac{b}{3(1+a)} $

2) Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь.

$ \frac{5m}{m^2-n^2} : \frac{15m^3}{m-n} = \frac{5m}{m^2-n^2} \cdot \frac{m-n}{15m^3} = \frac{5m(m-n)}{(m^2-n^2) \cdot 15m^3} $

Разложим знаменатель $m^2-n^2$ на множители по формуле разности квадратов: $m^2-n^2 = (m-n)(m+n)$.

$ \frac{5m(m-n)}{(m-n)(m+n) \cdot 15m^3} $

Сократим общие множители: $(m-n)$, $5$ и $m$. $ \frac{\cancel{5}\cancel{m}\cancel{(m-n)}}{\cancel{(m-n)}(m+n) \cdot 3 \cdot \cancel{5} \cdot m^{\cancel{3}}_2} = \frac{1}{3m^2(m+n)} $

Ответ: $ \frac{1}{3m^2(m+n)} $

3) Выполним умножение дробей, перемножив их числители и знаменатели.

$ \frac{3(x+y)}{4y^2(x^2+y^2)} \cdot \frac{x^2+y^2}{x^2-y^2} = \frac{3(x+y)(x^2+y^2)}{4y^2(x^2+y^2)(x^2-y^2)} $

Разложим выражение $x^2-y^2$ в знаменателе по формуле разности квадратов: $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$.

$ \frac{3(x+y)(x^2+y^2)}{4y^2(x^2+y^2)(x-y)(x+y)} $

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе: $(x+y)$ и $(x^2+y^2)$.

$ \frac{3\cancel{(x+y)}\cancel{(x^2+y^2)}}{4y^2\cancel{(x^2+y^2)}(x-y)\cancel{(x+y)}} = \frac{3}{4y^2(x-y)} $

Ответ: $ \frac{3}{4y^2(x-y)} $

4) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

$ \frac{5(a-b)}{3(a^2+b^2)} : \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2} = \frac{5(a-b)}{3(a^2+b^2)} \cdot \frac{a^2+b^2}{(a-b)^2} $

Запишем произведение в виде одной дроби: $ \frac{5(a-b)(a^2+b^2)}{3(a^2+b^2)(a-b)^2} $

Сократим общие множители $(a^2+b^2)$ и $(a-b)$. Учтем, что $(a-b)^2 = (a-b)(a-b)$.

$ \frac{5\cancel{(a-b)}\cancel{(a^2+b^2)}}{3\cancel{(a^2+b^2)}(a-b)^{\cancel{2}}} = \frac{5}{3(a-b)} $

Ответ: $ \frac{5}{3(a-b)} $