Номер 64, страница 24 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 4. Умножение и деление алгебраических дробей. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 64, страница 24.

Условие.

64. Упростить:

1) $\frac{a - 5}{a^2 + 6a + 9} \cdot \frac{(a + 3)^2}{a^2 - 25};$

2) $\frac{b^2 - 8b + 16}{b + 3} : \frac{(b - 4)^2}{b^2 - 9};$

3) $\frac{a^2 - 49}{a^2 + 2ab + b^2} \cdot \frac{a + b}{a - 7};$

4) $\frac{a^2 - 2a + 1}{2a + 1} : \frac{a - 1}{4a^2 - 1}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Для упрощения выражения $\frac{a-5}{a^2 + 6a + 9} \cdot \frac{(a+3)^2}{a^2 - 25}$ разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения.
Знаменатель первой дроби $a^2 + 6a + 9$ является полным квадратом суммы: $a^2 + 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = (a+3)^2$.
Знаменатель второй дроби $a^2 - 25$ является разностью квадратов: $a^2 - 5^2 = (a-5)(a+5)$.
Подставим разложенные выражения в исходное уравнение:
$\frac{a-5}{(a+3)^2} \cdot \frac{(a+3)^2}{(a-5)(a+5)}$
Теперь сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе: $(a-5)$ и $(a+3)^2$.
$\frac{\cancel{a-5}}{\cancel{(a+3)^2}} \cdot \frac{\cancel{(a+3)^2}}{(\cancel{a-5})(a+5)} = \frac{1}{a+5}$
Ответ: $\frac{1}{a+5}$

2) Для упрощения выражения $\frac{b^2 - 8b + 16}{b+3} : \frac{(b-4)^2}{b^2 - 9}$ заменим операцию деления на умножение, перевернув вторую дробь (делитель).
$\frac{b^2 - 8b + 16}{b+3} \cdot \frac{b^2 - 9}{(b-4)^2}$
Теперь разложим числители на множители.
Числитель первой дроби $b^2 - 8b + 16$ является полным квадратом разности: $b^2 - 2 \cdot b \cdot 4 + 4^2 = (b-4)^2$.
Числитель второй дроби $b^2 - 9$ является разностью квадратов: $b^2 - 3^2 = (b-3)(b+3)$.
Подставим разложенные выражения:
$\frac{(b-4)^2}{b+3} \cdot \frac{(b-3)(b+3)}{(b-4)^2}$
Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе: $(b-4)^2$ и $(b+3)$.
$\frac{\cancel{(b-4)^2}}{\cancel{b+3}} \cdot \frac{(b-3)(\cancel{b+3})}{\cancel{(b-4)^2}} = b-3$
Ответ: $b-3$

3) Упростим выражение $\frac{a^2 - 49}{a^2 + 2ab + b^2} \cdot \frac{a+b}{a-7}$. Разложим числитель и знаменатель первой дроби на множители.
Числитель $a^2 - 49$ — это разность квадратов: $a^2 - 7^2 = (a-7)(a+7)$.
Знаменатель $a^2 + 2ab + b^2$ — это полный квадрат суммы: $(a+b)^2$.
Перепишем выражение с разложенными множителями:
$\frac{(a-7)(a+7)}{(a+b)^2} \cdot \frac{a+b}{a-7}$
Сократим общие множители $(a-7)$ и $(a+b)$. Обратите внимание, что $(a+b)^2 = (a+b)(a+b)$.
$\frac{(\cancel{a-7})(a+7)}{(\cancel{a+b})(a+b)} \cdot \frac{\cancel{a+b}}{\cancel{a-7}} = \frac{a+7}{a+b}$
Ответ: $\frac{a+7}{a+b}$

4) Упростим выражение $\frac{a^2 - 2a + 1}{2a+1} : \frac{a-1}{4a^2 - 1}$. Сначала заменим деление на умножение на обратную дробь.
$\frac{a^2 - 2a + 1}{2a+1} \cdot \frac{4a^2 - 1}{a-1}$
Разложим на множители многочлены в числителях.
Числитель первой дроби $a^2 - 2a + 1$ — это полный квадрат разности: $(a-1)^2$.
Числитель второй дроби $4a^2 - 1$ — это разность квадратов: $(2a)^2 - 1^2 = (2a-1)(2a+1)$.
Подставим разложения в выражение:
$\frac{(a-1)^2}{2a+1} \cdot \frac{(2a-1)(2a+1)}{a-1}$
Сократим общие множители $(a-1)$ и $(2a+1)$.
$\frac{(a-1)^{\cancel{2}}}{\cancel{2a+1}} \cdot \frac{(2a-1)(\cancel{2a+1})}{\cancel{a-1}} = (a-1)(2a-1)$
Ответ можно оставить в виде произведения множителей.
Ответ: $(a-1)(2a-1)$