Номер 96, страница 31 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе 1. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 96, страница 31.

Условие.

96. Доказать, что если $a^3 + b^3 + c^3 + abc = 0$, $a+b \neq 0$, $b+c \neq 0$ и $c+a \neq 0$, то $\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} = 1.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для доказательства равенства преобразуем его левую часть, приведя дроби к общему знаменателю.

Левая часть равенства: $L = \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b}$.

Общий знаменатель: $D = (b+c)(c+a)(a+b)$. Согласно условиям задачи, $a+b \neq 0$, $b+c \neq 0$ и $c+a \neq 0$, следовательно, знаменатель $D$ не равен нулю.

Приводя к общему знаменателю, получаем:$L = \frac{a(c+a)(a+b) + b(b+c)(a+b) + c(b+c)(c+a)}{(b+c)(c+a)(a+b)}$.

Раскроем скобки в числителе, который обозначим как $N$:$N = a(ac + a^2 + bc + ab) + b(ab + b^2 + ac + bc) + c(bc + ab + c^2 + ca)$$N = a^2c + a^3 + abc + a^2b + ab^2 + b^3 + abc + b^2c + bc^2 + abc + c^3 + ac^2$Сгруппируем слагаемые:$N = (a^3 + b^3 + c^3) + (a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + a^2c) + 3abc$

Теперь раскроем скобки в знаменателе $D$:$D = (b+c)(ca+ab+a^2+cb) = bca+ab^2+a^2b+cb^2 + c^2a+abc+a^2c+c^2b$Сгруппируем слагаемые:$D = (a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + a^2c) + 2abc$

Из условия задачи нам дано, что $a^3+b^3+c^3+abc=0$. Отсюда мы можем выразить сумму кубов: $a^3+b^3+c^3 = -abc$.

Подставим это выражение в полученную формулу для числителя $N$:$N = (-abc) + (a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + a^2c) + 3abc$$N = (a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + a^2c) + 2abc$

Сравнивая полученные выражения для числителя $N$ и знаменателя $D$, мы видим, что они полностью совпадают:$N = D$.

Так как $N=D$ и $D \neq 0$, то их отношение равно 1:$L = \frac{N}{D} = 1$.Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.