Номер 78, страница 29 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 5. Совместные действия над алгебраическими дробями. Глава 1. Алгебраические дроби - номер 78, страница 29.

Условие.

78. Доказать, что если $x + \frac{1}{x} = a$, то $x^3 + \frac{1}{x^3} = a(a^2 - 3)$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Для доказательства данного утверждения, начнем с исходного равенства:

$x + \frac{1}{x} = a$

Наша цель — выразить $x^3 + \frac{1}{x^3}$ через $a$. Для этого возведем обе части исходного равенства в третью степень (в куб):

$(x + \frac{1}{x})^3 = a^3$

Для раскрытия скобок в левой части воспользуемся формулой куба суммы: $(p+q)^3 = p^3 + 3p^2q + 3pq^2 + q^3$. Эту формулу также удобно представить в виде: $(p+q)^3 = p^3 + q^3 + 3pq(p+q)$.

Применим эту формулу, где $p = x$ и $q = \frac{1}{x}$:

$x^3 + (\frac{1}{x})^3 + 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \cdot (x + \frac{1}{x}) = a^3$

Упростим полученное выражение. Произведение $x \cdot \frac{1}{x}$ равно 1:

$x^3 + \frac{1}{x^3} + 3 \cdot 1 \cdot (x + \frac{1}{x}) = a^3$

$x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x + \frac{1}{x}) = a^3$

Теперь подставим в это равенство значение $x + \frac{1}{x}$ из исходного условия, то есть заменим $x + \frac{1}{x}$ на $a$:

$x^3 + \frac{1}{x^3} + 3a = a^3$

Чтобы найти искомое выражение $x^3 + \frac{1}{x^3}$, перенесем $3a$ в правую часть уравнения, изменив знак:

$x^3 + \frac{1}{x^3} = a^3 - 3a$

В правой части вынесем общий множитель $a$ за скобки:

$x^3 + \frac{1}{x^3} = a(a^2 - 3)$

Таким образом, мы доказали требуемое тождество.

Ответ: Утверждение доказано. Если $x + \frac{1}{x} = a$, то $x^3 + \frac{1}{x^3}$ действительно равно $a(a^2 - 3)$.