Страница 41 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

102. Используя знак > или <, записать утверждение:

1) $ -11,7 $ — отрицательное число;

2) $ 98,3 $ — положительное число;

3) $ x $ — отрицательное число;

4) $ y $ — положительное число.

1) Чтобы записать утверждение, что число -11,7 является отрицательным, нужно использовать знак неравенства. Отрицательные числа — это все числа, которые меньше нуля. Таким образом, нужно записать, что -11,7 меньше 0.
Ответ: $-11,7 < 0$.

2) Чтобы записать утверждение, что число 98,3 является положительным, нужно также использовать знак неравенства. Положительные числа — это все числа, которые больше нуля. Таким образом, нужно записать, что 98,3 больше 0.
Ответ: $98,3 > 0$.

3) Утверждение, что $x$ — отрицательное число, означает, что значение переменной $x$ меньше нуля, каким бы оно ни было. Это записывается в виде неравенства с использованием знака "меньше".
Ответ: $x < 0$.

4) Утверждение, что $y$ — положительное число, означает, что значение переменной $y$ больше нуля, каким бы оно ни было. Это записывается в виде неравенства с использованием знака "больше".
Ответ: $y > 0$.

103. Пусть $a > 0$, $b > 0$. Доказать, что:

1) $2a(a+3b)>0$;

2) $(a+b)(2a+b)>0$.

Доказать, что $5a+2b<0$, если $a<0$ и $b<0$.

Так как $5>0$ и $a<0$, то по свойству 3 имеем: $5a<0$. Аналогично $2b<0$. По свойству 2 сумма двух отрицательных чисел отрицательна, поэтому $5a+2b<0$.

1)

По условию задачи даны два положительных числа: $a > 0$ и $b > 0$. Необходимо доказать, что выражение $2a(a + 3b)$ больше нуля.

Данное выражение представляет собой произведение двух множителей: $2a$ и $(a + 3b)$. Проанализируем знак каждого множителя.

Первый множитель $2a$. Так как по условию $a > 0$ и число $2$ также положительно, то их произведение будет положительным числом: $2a > 0$.

Второй множитель $(a + 3b)$. Так как по условию $b > 0$ и число $3$ положительно, то произведение $3b$ также будет положительным: $3b > 0$. Сумма двух положительных чисел $a$ и $3b$ является положительным числом, следовательно, $a + 3b > 0$.

Поскольку оба множителя ($2a$ и $a + 3b$) положительны, их произведение также будет положительным. Таким образом, $2a(a + 3b) > 0$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

2)

По условию задачи даны два положительных числа: $a > 0$ и $b > 0$. Необходимо доказать, что выражение $(a + b)(2a + b)$ больше нуля.

Данное выражение представляет собой произведение двух множителей: $(a + b)$ и $(2a + b)$. Проанализируем знак каждого множителя.

Первый множитель $(a + b)$. Поскольку по условию $a > 0$ и $b > 0$, их сумма также является положительным числом: $a + b > 0$.

Второй множитель $(2a + b)$. Поскольку $a > 0$, то произведение $2a$ также положительно. Сумма двух положительных чисел $2a$ и $b$ является положительным числом, следовательно, $2a + b > 0$.

Поскольку оба множителя ($(a + b)$ и $(2a + b)$) положительны, их произведение также будет положительным. Таким образом, $(a + b)(2a + b) > 0$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

104. Пусть $a<0, b<0$. Доказать, что:

1) $3a+4b<0$;

2) $2a(a+b)>0$.

1) $3a+4b<0$;

По условию задачи даны два отрицательных числа: $a < 0$ и $b < 0$. Используем свойство числовых неравенств: если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится.
1. Умножим неравенство $a < 0$ на положительное число 3. Получим: $3 \cdot a < 3 \cdot 0$, что равносильно $3a < 0$.
2. Умножим неравенство $b < 0$ на положительное число 4. Получим: $4 \cdot b < 4 \cdot 0$, что равносильно $4b < 0$.
Таким образом, мы имеем два слагаемых, $3a$ и $4b$, каждое из которых является отрицательным числом. Сумма двух отрицательных чисел всегда является отрицательным числом. Следовательно, $3a + 4b < 0$, что и требовалось доказать.
Ответ: Неравенство $3a + 4b < 0$ доказано.

2) $2a(a+b)>0$.

Рассмотрим выражение $2a(a + b)$. Оно представляет собой произведение трех множителей: $2$, $a$ и $(a+b)$. Определим знак каждого из них, исходя из условий $a < 0$ и $b < 0$.
1. Множитель $2$ — это положительное число.
2. Множитель $a$ — по условию является отрицательным числом ($a < 0$).
3. Множитель $(a+b)$. Так как $a$ и $b$ — отрицательные числа, их сумма также будет отрицательным числом ($a+b < 0$).
Теперь определим знак всего произведения. Для этого перемножим знаки множителей: $(+) \cdot (-) \cdot (-)$. Произведение двух отрицательных чисел ($a$ и $a+b$) дает положительное число. Дальнейшее умножение этого положительного результата на положительное число $2$ также дает положительный результат. Следовательно, выражение $2a(a+b)$ положительно, что и требовалось доказать.
Ответ: Неравенство $2a(a + b) > 0$ доказано.

105. Пусть $a>0$, $b<0$. Доказать, что:

1) $a-b>0$;

2) $b-a<0$;

3) $a^2b+b^3<0$;

4) $ab^3+a^3b<0$.

1) a - b > 0;
Согласно условию, $a$ - положительное число ($a > 0$), а $b$ - отрицательное число ($b < 0$).
Рассмотрим выражение $-b$. Если умножить обе части неравенства $b < 0$ на $-1$, знак неравенства изменится на противоположный: $(-1) \cdot b > (-1) \cdot 0$, что дает $-b > 0$. Таким образом, $-b$ является положительным числом.
Выражение $a - b$ можно представить как сумму $a + (-b)$. Мы складываем два положительных числа: $a$ (которое больше нуля по условию) и $-b$ (которое, как мы показали, тоже больше нуля). Сумма двух положительных чисел всегда положительна.
Следовательно, $a + (-b) > 0$, что и доказывает неравенство $a - b > 0$.
Ответ: Доказано.

2) b - a < 0;
По условию $b < 0$ (отрицательное число) и $a > 0$ (положительное число).
Рассмотрим выражение $-a$. Если умножить обе части неравенства $a > 0$ на $-1$, знак неравенства изменится на противоположный: $(-1) \cdot a < (-1) \cdot 0$, что дает $-a < 0$. Таким образом, $-a$ является отрицательным числом.
Выражение $b - a$ можно представить как сумму $b + (-a)$. Мы складываем два отрицательных числа: $b$ (которое меньше нуля по условию) и $-a$ (которое, как мы показали, тоже меньше нуля). Сумма двух отрицательных чисел всегда отрицательна.
Следовательно, $b + (-a) < 0$, что и доказывает неравенство $b - a < 0$.
Ответ: Доказано.

3) a²b + b³ < 0;
Преобразуем выражение, вынеся общий множитель $b$ за скобки: $a^2b + b^3 = b(a^2 + b^2)$.
Теперь определим знаки каждого множителя.

• Первый множитель: $b$. По условию $b < 0$, то есть это отрицательное число.
• Второй множитель: $(a^2 + b^2)$. Так как $a > 0$, то $a^2 > 0$. Так как $b < 0$, то его квадрат $b^2$ также будет больше нуля: $b^2 > 0$. Сумма двух строго положительных чисел ($a^2$ и $b^2$) является строго положительным числом: $a^2 + b^2 > 0$.

В итоге мы перемножаем отрицательное число ($b$) на положительное число ($a^2 + b^2$). Произведение отрицательного и положительного чисел всегда отрицательно.
Значит, $b(a^2 + b^2) < 0$, что и доказывает исходное неравенство $a^2b + b^3 < 0$.
Ответ: Доказано.

4) ab³ + a³b < 0.
Преобразуем выражение, вынеся общий множитель $ab$ за скобки: $ab^3 + a^3b = ab(b^2 + a^2)$.
Определим знаки каждого сомножителя.

• Первый сомножитель: $ab$. По условию $a > 0$ и $b < 0$. Произведение положительного и отрицательного чисел является отрицательным числом: $ab < 0$.
• Второй сомножитель: $(a^2 + b^2)$. Как было показано в предыдущем пункте, $a^2 > 0$ и $b^2 > 0$, следовательно, их сумма $a^2 + b^2$ также положительна: $a^2 + b^2 > 0$.

В результате мы перемножаем отрицательное число ($ab$) на положительное число ($a^2 + b^2$). Произведение отрицательного и положительного чисел всегда отрицательно.
Следовательно, $ab(a^2 + b^2) < 0$, что и доказывает исходное неравенство $ab^3 + a^3b < 0$.
Ответ: Доказано.

106. Не вычисляя, выяснить, положительно или отрицательно значение выражения:

1) $(-17) \cdot (-1,281)^2$;

2) $(-2,23)^3 \cdot (-0,54)^5$;

3) $(-0,37)^3 + (-2,7)^5$;

4) $(-3,21)^2 - (-45,4)^3$.

1) $(-17) \cdot (-1,281)^2;$

Первый множитель, $ -17 $, является отрицательным числом.
Второй множитель, $ (-1,281)^2 $, представляет собой отрицательное число, возведенное в четную степень (2). Результат возведения любого ненулевого числа в четную степень всегда положителен. Следовательно, $ (-1,281)^2 > 0 $.
Произведение отрицательного числа ($ -17 $) и положительного числа ($ (-1,281)^2 $) является отрицательным числом.
Ответ: отрицательно.

2) $(-2,23)^3 \cdot (-0,54)^5;$

Первый множитель, $ (-2,23)^3 $, является отрицательным числом, возведенным в нечетную степень (3), поэтому его значение отрицательно: $ (-2,23)^3 < 0 $.
Второй множитель, $ (-0,54)^5 $, также является отрицательным числом в нечетной степени (5), поэтому его значение тоже отрицательно: $ (-0,54)^5 < 0 $.
Произведение двух отрицательных чисел всегда положительно.
Ответ: положительно.

3) $(-0,37)^3 + (-2,7)^5;$

Первое слагаемое, $ (-0,37)^3 $, является отрицательным числом, возведенным в нечетную степень (3), следовательно, оно отрицательно: $ (-0,37)^3 < 0 $.
Второе слагаемое, $ (-2,7)^5 $, также является отрицательным числом в нечетной степени (5), и оно тоже отрицательно: $ (-2,7)^5 < 0 $.
Сумма двух отрицательных чисел всегда отрицательна.
Ответ: отрицательно.

4) $(-3,21)^2 - (-45,4)^3.$

Уменьшаемое, $ (-3,21)^2 $, — это отрицательное число в четной степени (2), поэтому его значение положительно: $ (-3,21)^2 > 0 $.
Вычитаемое, $ (-45,4)^3 $, — это отрицательное число в нечетной степени (3), поэтому его значение отрицательно: $ (-45,4)^3 < 0 $.
Выражение представляет собой вычитание отрицательного числа из положительного, что эквивалентно сложению двух положительных чисел: $ (-3,21)^2 - (-45,4)^3 = (-3,21)^2 + (45,4)^3 $.
Сумма двух положительных чисел всегда положительна.
Ответ: положительно.

107. Доказать, что при любом $a$ значение выражения положительно:

1) $2 - \frac{1}{a^2+1};$

2) $a^2 + \frac{1-a^2}{1+a^2};$

3) $(3a+2)^2 - 6a(a+2);$

4) $(2a-3)^2 - 3a(a-4).$

1) Чтобы доказать, что выражение $2 - \frac{1}{a^2+1}$ положительно, преобразуем его, приведя к общему знаменателю:
$2 - \frac{1}{a^2+1} = \frac{2(a^2+1) - 1}{a^2+1} = \frac{2a^2+2-1}{a^2+1} = \frac{2a^2+1}{a^2+1}$.
Рассмотрим полученную дробь. Выражение $a^2$ всегда неотрицательно при любом значении $a$, то есть $a^2 \ge 0$. Следовательно, знаменатель $a^2+1 \ge 0+1=1$, то есть он всегда строго положителен. Числитель $2a^2+1 \ge 2 \cdot 0 + 1 = 1$, то есть он также всегда строго положителен. Частное двух положительных чисел всегда является положительным числом. Таким образом, значение выражения всегда положительно.
Ответ: Выражение $\frac{2a^2+1}{a^2+1}$ всегда больше нуля, что и требовалось доказать.

2) Преобразуем выражение $a^2 + \frac{1-a^2}{1+a^2}$, приведя слагаемые к общему знаменателю:
$a^2 + \frac{1-a^2}{1+a^2} = \frac{a^2(1+a^2) + (1-a^2)}{1+a^2} = \frac{a^2+a^4+1-a^2}{1+a^2} = \frac{a^4+1}{a^2+1}$.
Рассмотрим полученную дробь. При любом значении $a$ выражения $a^4$ и $a^2$ неотрицательны, то есть $a^4 \ge 0$ и $a^2 \ge 0$. Тогда числитель $a^4+1 \ge 0+1=1$, а знаменатель $a^2+1 \ge 0+1=1$. Оба, числитель и знаменатель, всегда строго положительны. Следовательно, их частное также всегда положительно.
Ответ: Выражение $\frac{a^4+1}{a^2+1}$ всегда больше нуля, что и требовалось доказать.

3) Упростим выражение $(3a+2)^2 - 6a(a+2)$, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.
Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$ и распределительный закон.
$(3a+2)^2 - 6a(a+2) = ( (3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot 2 + 2^2 ) - (6a \cdot a + 6a \cdot 2) = (9a^2+12a+4) - (6a^2+12a) = 9a^2+12a+4-6a^2-12a$.
После приведения подобных слагаемых получаем: $(9a^2-6a^2) + (12a-12a) + 4 = 3a^2+4$.
Так как $a^2 \ge 0$ при любом $a$, то $3a^2 \ge 0$. Следовательно, $3a^2+4 \ge 0+4=4$. Поскольку $4 > 0$, значение выражения всегда положительно.
Ответ: Выражение $3a^2+4$ всегда больше нуля, что и требовалось доказать.

4) Упростим выражение $(2a-3)^2 - 3a(a-4)$, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.
Используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$ и распределительный закон.
$(2a-3)^2 - 3a(a-4) = ( (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 3 + 3^2 ) - (3a \cdot a - 3a \cdot 4) = (4a^2-12a+9) - (3a^2-12a) = 4a^2-12a+9-3a^2+12a$.
После приведения подобных слагаемых получаем: $(4a^2-3a^2) + (-12a+12a) + 9 = a^2+9$.
Так как $a^2 \ge 0$ при любом значении $a$, то $a^2+9 \ge 0+9=9$.
Поскольку $9 > 0$, значение выражения всегда положительно.
Ответ: Выражение $a^2+9$ всегда больше нуля, что и требовалось доказать.

108. Доказать, что при любом a значение выражения отрицательно:

1) $(-1,5)^3 - a^2;$

2) $(-7)^5 - (1-a)^4;$

3) $2a(4a-3) - (3a-1)^2;$

4) $3a(a+4) - (2a+3)^2.$

1) Рассмотрим выражение $(-1,5)^3 - a^2$.
Первый член выражения $(-1,5)^3$ является отрицательным числом, возведенным в нечетную степень, поэтому результат будет отрицательным:
$(-1,5)^3 = -1,5 \cdot (-1,5) \cdot (-1,5) = -3,375$.
Второй член выражения — это $a^2$. Для любого действительного числа a, его квадрат $a^2$ является неотрицательным числом, то есть $a^2 \ge 0$. Следовательно, выражение $-a^2$ является неположительным, то есть $-a^2 \le 0$.
Таким образом, мы складываем строго отрицательное число ($-3,375$) и неположительное число ($-a^2$). Их сумма всегда будет отрицательной.
$-3,375 - a^2 \le -3,375 < 0$.
Ответ: Значение выражения всегда отрицательно, так как представляет собой сумму отрицательного и неположительного слагаемых.

2) Рассмотрим выражение $(-7)^5 - (1-a)^4$.
Первый член выражения $(-7)^5$ является отрицательным числом, возведенным в нечетную степень, поэтому результат будет отрицательным:
$(-7)^5 = -16807$.
Второй член выражения — это $(1-a)^4$. Любое действительное число, возведенное в четную степень (в данном случае в 4-ю), является неотрицательным. Таким образом, $(1-a)^4 \ge 0$. Следовательно, выражение $-(1-a)^4$ является неположительным, то есть $-(1-a)^4 \le 0$.
Мы вычитаем из строго отрицательного числа ($-16807$) неотрицательное число ($(1-a)^4$), что равносильно сложению отрицательного и неположительного чисел. Результат всегда будет отрицательным.
$-16807 - (1-a)^4 \le -16807 < 0$.
Ответ: Значение выражения всегда отрицательно, так как из отрицательного числа вычитается неотрицательное.

3) Упростим выражение $2a(4a-3) - (3a-1)^2$.
Сначала раскроем скобки. Для второго слагаемого используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$2a(4a-3) = 8a^2 - 6a$
$(3a-1)^2 = (3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot 1 + 1^2 = 9a^2 - 6a + 1$
Теперь подставим раскрытые выражения в исходное:
$(8a^2 - 6a) - (9a^2 - 6a + 1) = 8a^2 - 6a - 9a^2 + 6a - 1$
Приведем подобные слагаемые:
$(8a^2 - 9a^2) + (-6a + 6a) - 1 = -a^2 - 1$.
Проанализируем полученное выражение $-a^2 - 1$. Поскольку $a^2 \ge 0$ для любого a, то $-a^2 \le 0$. Если к неположительному числу ($-a^2$) прибавить отрицательное число ($-1$), результат всегда будет отрицательным. Максимальное значение выражения $-a^2-1$ достигается при $a=0$ и равно $-1$.
Ответ: После упрощения выражение принимает вид $-a^2-1$, значение которого всегда отрицательно.

4) Упростим выражение $3a(a+4) - (2a+3)^2$.
Сначала раскроем скобки. Для второго слагаемого используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:
$3a(a+4) = 3a^2 + 12a$
$(2a+3)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot 3 + 3^2 = 4a^2 + 12a + 9$
Теперь подставим раскрытые выражения в исходное:
$(3a^2 + 12a) - (4a^2 + 12a + 9) = 3a^2 + 12a - 4a^2 - 12a - 9$
Приведем подобные слагаемые:
$(3a^2 - 4a^2) + (12a - 12a) - 9 = -a^2 - 9$.
Проанализируем полученное выражение $-a^2 - 9$. Поскольку $a^2 \ge 0$ для любого a, то $-a^2 \le 0$. Если к неположительному числу ($-a^2$) прибавить отрицательное число ($-9$), результат всегда будет отрицательным. Максимальное значение выражения $-a^2-9$ достигается при $a=0$ и равно $-9$.
Ответ: После упрощения выражение принимает вид $-a^2-9$, значение которого всегда отрицательно.

109. Пусть $a<0$, $b>0$. Выяснить, положительно или отрицательно значение выражения:

1) $a^3b^4$;

2) $\frac{a^2}{b^3}$;

3) $(2a-b)(2b-a)$;

4) $\frac{3b-2a}{3a-2b}$.

1) $a³b⁴$
По условию дано, что $a < 0$ и $b > 0$.
Рассмотрим каждый множитель в выражении. Множитель $a³$: так как $a$ — отрицательное число, а 3 — нечетная степень, то $a³$ будет отрицательным числом ($a³ < 0$).
Множитель $b⁴$: так как $b$ — положительное число, а 4 — четная степень, то $b⁴$ будет положительным числом ($b⁴ > 0$).
Произведение отрицательного числа ($a³$) и положительного числа ($b⁴$) является отрицательным числом. Следовательно, значение выражения $a³b⁴$ отрицательно.
Ответ: отрицательно.

2) $\frac{a²}{b³}$
Рассмотрим числитель и знаменатель дроби.
Числитель $a²$: так как $a$ — отрицательное число, а 2 — четная степень, то $a²$ будет положительным числом ($a² > 0$).
Знаменатель $b³$: так как $b$ — положительное число, то $b³$ в любой степени также будет положительным числом ($b³ > 0$).
Частное от деления положительного числа ($a²$) на положительное число ($b³$) является положительным числом. Следовательно, значение выражения $\frac{a²}{b³}$ положительно.
Ответ: положительно.

3) $(2a - b)(2b - a)$
Рассмотрим знак каждого множителя.
Первый множитель $(2a - b)$: так как $a < 0$, то $2a < 0$. Так как $b > 0$, то $-b < 0$. Сумма двух отрицательных чисел ($2a$ и $-b$) есть число отрицательное, то есть $2a - b < 0$.
Второй множитель $(2b - a)$: так как $b > 0$, то $2b > 0$. Так как $a < 0$, то $-a > 0$. Сумма двух положительных чисел ($2b$ и $-a$) есть число положительное, то есть $2b - a > 0$.
Произведение отрицательного множителя ($(2a - b)$) и положительного множителя ($(2b - a)$) является отрицательным числом.
Следовательно, значение выражения $(2a - b)(2b - a)$ отрицательно.
Ответ: отрицательно.

4) $\frac{3b - 2a}{3a - 2b}$
Рассмотрим знак числителя и знаменателя дроби.
Числитель $(3b - 2a)$: так как $b > 0$, то $3b > 0$. Так как $a < 0$, то $-2a > 0$. Сумма двух положительных чисел ($3b$ и $-2a$) есть число положительное, то есть $3b - 2a > 0$.
Знаменатель $(3a - 2b)$: так как $a < 0$, то $3a < 0$. Так как $b > 0$, то $-2b < 0$. Сумма двух отрицательных чисел ($3a$ и $-2b$) есть число отрицательное, то есть $3a - 2b < 0$.
Частное от деления положительного числа (числителя) на отрицательное число (знаменатель) является отрицательным числом.
Следовательно, значение выражения $\frac{3b - 2a}{3a - 2b}$ отрицательно.
Ответ: отрицательно.