Номер 103, страница 41 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 6. Положительные и отрицательные числа. Глава 2. Неравенства - номер 103, страница 41.

Условие.

103. Пусть $a > 0$, $b > 0$. Доказать, что:

1) $2a(a+3b)>0$;

2) $(a+b)(2a+b)>0$.

Доказать, что $5a+2b<0$, если $a<0$ и $b<0$.

Так как $5>0$ и $a<0$, то по свойству 3 имеем: $5a<0$. Аналогично $2b<0$. По свойству 2 сумма двух отрицательных чисел отрицательна, поэтому $5a+2b<0$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1)

По условию задачи даны два положительных числа: $a > 0$ и $b > 0$. Необходимо доказать, что выражение $2a(a + 3b)$ больше нуля.

Данное выражение представляет собой произведение двух множителей: $2a$ и $(a + 3b)$. Проанализируем знак каждого множителя.

Первый множитель $2a$. Так как по условию $a > 0$ и число $2$ также положительно, то их произведение будет положительным числом: $2a > 0$.

Второй множитель $(a + 3b)$. Так как по условию $b > 0$ и число $3$ положительно, то произведение $3b$ также будет положительным: $3b > 0$. Сумма двух положительных чисел $a$ и $3b$ является положительным числом, следовательно, $a + 3b > 0$.

Поскольку оба множителя ($2a$ и $a + 3b$) положительны, их произведение также будет положительным. Таким образом, $2a(a + 3b) > 0$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

2)

По условию задачи даны два положительных числа: $a > 0$ и $b > 0$. Необходимо доказать, что выражение $(a + b)(2a + b)$ больше нуля.

Данное выражение представляет собой произведение двух множителей: $(a + b)$ и $(2a + b)$. Проанализируем знак каждого множителя.

Первый множитель $(a + b)$. Поскольку по условию $a > 0$ и $b > 0$, их сумма также является положительным числом: $a + b > 0$.

Второй множитель $(2a + b)$. Поскольку $a > 0$, то произведение $2a$ также положительно. Сумма двух положительных чисел $2a$ и $b$ является положительным числом, следовательно, $2a + b > 0$.

Поскольку оба множителя ($(a + b)$ и $(2a + b)$) положительны, их произведение также будет положительным. Таким образом, $(a + b)(2a + b) > 0$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.