Номер 107, страница 41 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 6. Положительные и отрицательные числа. Глава 2. Неравенства - номер 107, страница 41.

Условие.

107. Доказать, что при любом $a$ значение выражения положительно:

1) $2 - \frac{1}{a^2+1};$

2) $a^2 + \frac{1-a^2}{1+a^2};$

3) $(3a+2)^2 - 6a(a+2);$

4) $(2a-3)^2 - 3a(a-4).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Чтобы доказать, что выражение $2 - \frac{1}{a^2+1}$ положительно, преобразуем его, приведя к общему знаменателю:
$2 - \frac{1}{a^2+1} = \frac{2(a^2+1) - 1}{a^2+1} = \frac{2a^2+2-1}{a^2+1} = \frac{2a^2+1}{a^2+1}$.
Рассмотрим полученную дробь. Выражение $a^2$ всегда неотрицательно при любом значении $a$, то есть $a^2 \ge 0$. Следовательно, знаменатель $a^2+1 \ge 0+1=1$, то есть он всегда строго положителен. Числитель $2a^2+1 \ge 2 \cdot 0 + 1 = 1$, то есть он также всегда строго положителен. Частное двух положительных чисел всегда является положительным числом. Таким образом, значение выражения всегда положительно.
Ответ: Выражение $\frac{2a^2+1}{a^2+1}$ всегда больше нуля, что и требовалось доказать.

2) Преобразуем выражение $a^2 + \frac{1-a^2}{1+a^2}$, приведя слагаемые к общему знаменателю:
$a^2 + \frac{1-a^2}{1+a^2} = \frac{a^2(1+a^2) + (1-a^2)}{1+a^2} = \frac{a^2+a^4+1-a^2}{1+a^2} = \frac{a^4+1}{a^2+1}$.
Рассмотрим полученную дробь. При любом значении $a$ выражения $a^4$ и $a^2$ неотрицательны, то есть $a^4 \ge 0$ и $a^2 \ge 0$. Тогда числитель $a^4+1 \ge 0+1=1$, а знаменатель $a^2+1 \ge 0+1=1$. Оба, числитель и знаменатель, всегда строго положительны. Следовательно, их частное также всегда положительно.
Ответ: Выражение $\frac{a^4+1}{a^2+1}$ всегда больше нуля, что и требовалось доказать.

3) Упростим выражение $(3a+2)^2 - 6a(a+2)$, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.
Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$ и распределительный закон.
$(3a+2)^2 - 6a(a+2) = ( (3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot 2 + 2^2 ) - (6a \cdot a + 6a \cdot 2) = (9a^2+12a+4) - (6a^2+12a) = 9a^2+12a+4-6a^2-12a$.
После приведения подобных слагаемых получаем: $(9a^2-6a^2) + (12a-12a) + 4 = 3a^2+4$.
Так как $a^2 \ge 0$ при любом $a$, то $3a^2 \ge 0$. Следовательно, $3a^2+4 \ge 0+4=4$. Поскольку $4 > 0$, значение выражения всегда положительно.
Ответ: Выражение $3a^2+4$ всегда больше нуля, что и требовалось доказать.

4) Упростим выражение $(2a-3)^2 - 3a(a-4)$, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.
Используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$ и распределительный закон.
$(2a-3)^2 - 3a(a-4) = ( (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 3 + 3^2 ) - (3a \cdot a - 3a \cdot 4) = (4a^2-12a+9) - (3a^2-12a) = 4a^2-12a+9-3a^2+12a$.
После приведения подобных слагаемых получаем: $(4a^2-3a^2) + (-12a+12a) + 9 = a^2+9$.
Так как $a^2 \ge 0$ при любом значении $a$, то $a^2+9 \ge 0+9=9$.
Поскольку $9 > 0$, значение выражения всегда положительно.
Ответ: Выражение $a^2+9$ всегда больше нуля, что и требовалось доказать.