Номер 105, страница 41 - гдз по алгебре 8 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 6. Положительные и отрицательные числа. Глава 2. Неравенства - номер 105, страница 41.

Условие.

105. Пусть $a>0$, $b<0$. Доказать, что:

1) $a-b>0$;

2) $b-a<0$;

3) $a^2b+b^3<0$;

4) $ab^3+a^3b<0$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) a - b > 0;
Согласно условию, $a$ - положительное число ($a > 0$), а $b$ - отрицательное число ($b < 0$).
Рассмотрим выражение $-b$. Если умножить обе части неравенства $b < 0$ на $-1$, знак неравенства изменится на противоположный: $(-1) \cdot b > (-1) \cdot 0$, что дает $-b > 0$. Таким образом, $-b$ является положительным числом.
Выражение $a - b$ можно представить как сумму $a + (-b)$. Мы складываем два положительных числа: $a$ (которое больше нуля по условию) и $-b$ (которое, как мы показали, тоже больше нуля). Сумма двух положительных чисел всегда положительна.
Следовательно, $a + (-b) > 0$, что и доказывает неравенство $a - b > 0$.
Ответ: Доказано.

2) b - a < 0;
По условию $b < 0$ (отрицательное число) и $a > 0$ (положительное число).
Рассмотрим выражение $-a$. Если умножить обе части неравенства $a > 0$ на $-1$, знак неравенства изменится на противоположный: $(-1) \cdot a < (-1) \cdot 0$, что дает $-a < 0$. Таким образом, $-a$ является отрицательным числом.
Выражение $b - a$ можно представить как сумму $b + (-a)$. Мы складываем два отрицательных числа: $b$ (которое меньше нуля по условию) и $-a$ (которое, как мы показали, тоже меньше нуля). Сумма двух отрицательных чисел всегда отрицательна.
Следовательно, $b + (-a) < 0$, что и доказывает неравенство $b - a < 0$.
Ответ: Доказано.

3) a²b + b³ < 0;
Преобразуем выражение, вынеся общий множитель $b$ за скобки: $a^2b + b^3 = b(a^2 + b^2)$.
Теперь определим знаки каждого множителя.

• Первый множитель: $b$. По условию $b < 0$, то есть это отрицательное число.
• Второй множитель: $(a^2 + b^2)$. Так как $a > 0$, то $a^2 > 0$. Так как $b < 0$, то его квадрат $b^2$ также будет больше нуля: $b^2 > 0$. Сумма двух строго положительных чисел ($a^2$ и $b^2$) является строго положительным числом: $a^2 + b^2 > 0$.

В итоге мы перемножаем отрицательное число ($b$) на положительное число ($a^2 + b^2$). Произведение отрицательного и положительного чисел всегда отрицательно.
Значит, $b(a^2 + b^2) < 0$, что и доказывает исходное неравенство $a^2b + b^3 < 0$.
Ответ: Доказано.

4) ab³ + a³b < 0.
Преобразуем выражение, вынеся общий множитель $ab$ за скобки: $ab^3 + a^3b = ab(b^2 + a^2)$.
Определим знаки каждого сомножителя.

• Первый сомножитель: $ab$. По условию $a > 0$ и $b < 0$. Произведение положительного и отрицательного чисел является отрицательным числом: $ab < 0$.
• Второй сомножитель: $(a^2 + b^2)$. Как было показано в предыдущем пункте, $a^2 > 0$ и $b^2 > 0$, следовательно, их сумма $a^2 + b^2$ также положительна: $a^2 + b^2 > 0$.

В результате мы перемножаем отрицательное число ($ab$) на положительное число ($a^2 + b^2$). Произведение отрицательного и положительного чисел всегда отрицательно.
Следовательно, $ab(a^2 + b^2) < 0$, что и доказывает исходное неравенство $ab^3 + a^3b < 0$.
Ответ: Доказано.